数学

【数学】よく考えると危うい三角関数

高校でも大学の理工系の1年次でも三角関数sin,cosは図形的に定義され、誤魔化されることが殆ど。 数学科以外ならあまり気にならないかもしれないが、図形的な誤魔化しをなくして厳密に定義しようとすると、ややこしい状況であることを知る。 また、三角関数…

【数学】有理数と$n$ 進法の小数

《キーワード:有理数、循環小数、位数》 $r\in\mathbb{R}$ に対し、 『$r$が有理数であるためには$r$が有限小数もしくは循環小数であることが必要十分』 が成り立つ。一般に、 $n$ を正整数とするとき、 『$r$が有理数であるためには$r$は$n$進法で有限小数…

【数学・論理学】演繹定理

公理系と仮定 $P$ から命題 $Q$ の証明ができる(これを$P\vdash Q$ で表す)とき、「 $Q$ は $P$ の演繹である」「 $Q$ は $P$ から演繹可能である」という。 これについてエルブランによる次の演繹定理が成り立つ: $P\vdash Q$ ならば、 $\vdash P\rightarro…

【数学・論理学】$\lnot(P\lor Q)\vdash\lnot P\land\lnot Q$ の形式証明

ただの備忘録

【数学】$\Phi_n(x)$ の $\varphi(n)-1$ 次の係数

reisr.hatenablog.com の続きで、$G$の生成元の和を求めます。 皆の投稿 - 原始根の和が0,-1,1のいずれかになることの証明 - 数学博物館 すうじあむ のように包除原理を使って直接求めるのが上手い気がしますが、円分多項式の係数と結びつけたのでその方向で…

【数学】有限体の乗法群と円分多項式の係数

$F_q$を位数$q$の有限体とします。$F_q$の標数を$p$とすれば、ある自然数$f$に対して、 $$q=p^f$$ を満たします。 $G$を$F_q$の乗法群(乗法逆元を持つような元全体からなる群)とすると、$G$の位数は$q-1$になります。 この辺のことは代数学の教科書見れば載…

ピタゴラス数

ふと、 mizumiya-umi.hatenablog.comを読んで数時間考えてたら、予想が証明できてしまったので、載せます。 $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{Z}\setminus{0}$ を $$a_1^2+b_1^2=c_1^2, a_2^2+b_2^2=c_2^2$$ を満たすものとする.ただし, $2\mid b_1,b_2$ …

【書評】数学の本

持っている本やおすすめの本について。大半は専門書というより読み物。ただし、ここにある本を完全に理解しているわけでもないので誤った説明もあるかもしれない。 フェルマーの最終定理を扱っている物語で最初に読んだのは高校生の頃。最後の方でフェルマー…

多項式のある漸化式

漸化式 はなかなか面白いかもしれません。 とすると、 を満たす多項式 が得られ、また とすると、 を根に持つ多項式 が得られます。 前者は 後者は を初項としたときに漸化式から得られる多項式とも考えられるので、を他の自然数(もしくは整数)に変えると他…

ネットで見つけた予想の部分的な証明

皆の投稿 - 原始根の和と円分多項式 - 数学博物館 すうじあむ にあった予想(@mizumiya_umiさんによる)を$p$にかなりの制限を付けて証明した。 $p$を素数とし, $p-1$ は$2q\;(q:$奇素数$)$ の形とする. $\bmod{p}$ の原始根全体を $$A=\{a_1, \cdots, a_{\var…

根の対称式

2年前にtwitterで次のように呟いた z^5-11z-5=0の解α1~α5に対し、1/(2-α1)+1/(2-α2)+…+1/(2-α5)を求めるのいい計算練習になるよ。大学受験生の— 冷 (@0_A_M_) 2016年4月20日 ※数式の部分を一応見やすく再掲: の解 に対し, これについて昨日考えたが、 当時…

【数学】線形代数

線形代数のイントロダクションというか行列の導入に関して、思い付きで書いてみた 0_A_M_.pdf - Google ドライブ

【数学】実数係数方程式のペアになっている解

実数係数次方程式などに虚数解があるとその複素共役も解になるというのは高校数学の問題で1度は目にしたと思う. まずこれが何故そうなるのかを見ていく. 例えば, 方程式 を考え, これが虚数解 を持ったとすると, 次を満たす. この等式の両辺で複素共役を取る…

logn/n

色んな場面で出てくるであろう極限 の求め方について。 だから について考える。 まず、これが1以上というのは明らか( )だから とおくと、 両辺をn乗して 右辺を二項展開して評価すると よって、 これを整理して ゆえに、 したがって、 となるから 以上から