【高校数学】逆四平方の定理
《キーワード：ベクトル、四平方の定理、逆四平方の定理》
2019/11/29にたまたま発見した式について
4平方の定理とかいう定理の証明(ヘロンの公式を使うのがおそらく簡単)を試みていたら、図の直方体において、
— 『冷』 (@0_A_M_) 2019年11月28日
1/h^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2
という関係が成り立つことが分かった。 pic.twitter.com/hiEAsvIpVB
hは頂点と三角形の間の距離
— 『冷』 (@0_A_M_) 2019年11月28日
2019/12/15に見た動画で似た定理を知って、逆四平方の定理とでも呼べそう
逆ピタゴラスの定理から、届く明るさが同じになるように灯りを分けられるよ。ん？この式見覚えがあるぞ？？https://t.co/djKzvnN1kF pic.twitter.com/uaTYWm3DJr
— 『冷』 (@0_A_M_) 2019年12月15日
まず、次の方針で4平方の定理を証明する。
いや、ヘロンの公式よりベクトルのが早いな。そもそも公式は２つのベクトルで張られる三角形の面積から導かれてるし。なら、4平方の定理経由でいっか。
— 『冷』 (@0_A_M_) 2019年11月28日
直方体の図は次の通り
$S=\triangle\mathrm{ABC}$, $S_1=\triangle\mathrm{OAB}$, $S_2=\triangle\mathrm{OAC}$, $S_3=\triangle \mathrm{O B C}$ .
とおくと、四平方の定理は
$$S^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$$
という定理である。
左辺をベクトルを用いて変形していくと、
$$\begin{align}S^2&=\frac{|\overset{\longrightarrow}{AB}|^2|\overset{\longrightarrow}{AC}|^2-(\overset{\longrightarrow}{AB}\cdot\overset{\longrightarrow}{AC})^2}{4}\\&=\frac{|\overset{\longrightarrow}{OB}-\overset{\longrightarrow}{OA}|^2|\overset{\longrightarrow}{OC}-\overset{\longrightarrow}{OA}|^2-\left((\overset{\longrightarrow}{OB}-\overset{\longrightarrow}{OA})\cdot(\overset{\longrightarrow}{OC}-\overset{\longrightarrow}{OA})\right)^2}{4}\\&=\frac{(|\overset{\longrightarrow}{OB}|^2-2\overset{\longrightarrow}{OA}\cdot\overset{\longrightarrow}{OB}+|\overset{\longrightarrow}{OA}|^2)(|\overset{\longrightarrow}{OC}|^2-2\overset{\longrightarrow}{OA}\cdot\overset{\longrightarrow}{OC}+|\overset{\longrightarrow}{OA}|^2)}{4}\\&\;-\frac{(\overset{\longrightarrow}{OB}\cdot\overset{\longrightarrow}{OC}-\overset{\longrightarrow}{OB}\cdot\overset{\longrightarrow}{OA}-\overset{\longrightarrow}{OA}\cdot\overset{\longrightarrow}{OC}+|\overset{\longrightarrow}{OA}|^2)^2}{4}\\&=\frac{|\overset{\longrightarrow}{OB}|^2|\overset{\longrightarrow}{OC}|^2+|\overset{\longrightarrow}{OB}|^2|\overset{\longrightarrow}{OA}|^2+|\overset{\longrightarrow}{OA}|^2|\overset{\longrightarrow}{OC}|^2+|\overset{\longrightarrow}{OA}|^4-|\overset{\longrightarrow}{OA}|^4}{4}\\&={\left(\frac{1}{2}|\overset{\longrightarrow}{OA}||\overset{\longrightarrow}{OB}|\right)\!}^2+{\left(\frac{1}{2}|\overset{\longrightarrow}{OA}||\overset{\longrightarrow}{OC}|\right)\!}^2+{\left(\frac{1}{2}|\overset{\longrightarrow}{OB}||\overset{\longrightarrow}{OC}|\right)\!}^2\\&=S_1^2+S_2^2+S_3^2\end{align}$$
となり、証明が完了する。
ここから逆四平方の定理、すなわち
$$\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$$
を示す。
三角錐 $OABC$ の体積を $\triangle\mathrm{OAB},\triangle\mathrm{ABC}$ を底面とみて二通りに表すことにより、次の等式が得られる。
$$\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}ab\cdot c=\frac{1}{3}\cdot S\cdot h$$
すると、
$$\begin{align}\frac{1}{h^2}&=\frac{4S^2}{(abc)^2}\\&=\frac{4S_1^2+4S_2^2+4S_3^2}{(abc)^2}\\&=\frac{(ab)^2+(ac)^2+(bc)^2}{(abc)^2}\\&=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\end{align}$$
となり、証明が完了する。
