【数学】Baker-Stark の定理

《キーワード:類数、虚二次体、ガウス、PID、UFD、代数的整数論、Baker、Stark、Heegner》

虚二次体の類数1予想

ガウスは類数が1となる虚二次体*1についての次の命題を実質的に*2予想した。

$m\in\mathbb{N}$ を平方因子を持たない正整数とするとき、虚二次体 $\mathbb{Q}(\sqrt{-m})$ の類数が $1$ となるのは

$m=1,2,3,7,11,19,43,67,163$

に限る

これは整数論の多くの本で

「1967年にBakerとStarkが独立に証明した」

と載っていて、Baker-Starkの定理と呼ぶものもある。

しかし、それ以前にも実はHeegnerという人が証明をしている。

ただ、その証明が拠り所とする主張にはギャップがあり、当時は受け入れられなかった。

結果としてはBakerやStarkが完全な証明をしたので、BakerとStarkの名前を付けるのは至極当然だが、それ以前にも証明をした人はいたという事実は歴史として頭に留めておいても損はないと思う。

ちなみに、ガウス類数が1となる実二次体が無限個存在することも実質的に予想しているが、これは未解決問題である。

参考文献

H.M.Stark, On the "Gap" in a Theorem of Heegner, Journal of Number Theory vol.1(1969), p16--27

*1:このときその虚二次体はPID(principal ideal domain;単項イデアル整域)かつUFD(unique factorization domain;一意分解整域)となり、一意的な素元分解が可能

*2:ガウスの時代は二次体という概念がなかったため