ネットで見つけた予想の部分的な証明
皆の投稿 - 原始根の和と円分多項式 - 数学博物館 すうじあむ
にあった予想(@mizumiya_umiさんによる)を$p$にかなりの制限を付けて証明した。
$p$を素数とし, $p-1$ は$2q\;(q:$奇素数$)$ の形とする.
$\bmod{p}$ の原始根全体を
$$A=\{a_1, \cdots, a_{\varphi(p-1)}\}$$
とおく.すなわち,
$$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times=\{\bar{a_1}, \cdots, \overline{a_{\varphi(p-1)}}\}$$
また, $0\le b<p$ を
$$\sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}a_i\equiv b\bmod{p}$$
を満たすように取る.
$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ は巡回群だから, $\bmod{p}$ の原始根$a$ を１つ選べば,
$$A=\{a^i\mid i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times\}$$
とも表せる.
このとき, 合同式
$$\sum_{i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times}a^i\equiv b\bmod{p}$$
を,
$$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1\bmod{p}$$
によって簡単にすると,
$$\Phi_{p-1}(a)\equiv0\bmod{p}$$
となる(ことを示す)$\cdots(\ast).$
以降の多項式はすべて$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$
の元とする.
$$f(X)=\sum_{i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times}X^i-b,\; g(X)=\prod_{i=1}^{\varphi(p-1)}(X-a_i)\text{ とおく}.$$
すると, $(\ast)$は$f(X)$
を$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$
のイデアル$(X^{\frac{p-1}{2}}+1)$
による剰余環上で考えると, $\Phi_{p-1}(X)$
の0でない定数倍になることと言い換えられる.
$b$の定義から, $a_i$は$f(X)$の根になるから,$g(X)$
は
$f(X)$ を割り切る.
よって,
$$f(X)=g(X)h(X)$$
となる$h(X)$
が存在する.
$a_i$は
$$X^{p-1}-1=\prod_{d\mid(p-1)}\Phi_d(X)$$
の根であるから, $p-1$
のある約数$d$
に対して, $\Phi_d(X)$
の根.
したがって, $X^d-1$
の根となるが, $a_i$は$\bmod{p}$
の原始根だから, $d=p-1.$
つまり, $a_i$ はすべて$\Phi_{p-1}(X)$
の根なので, $g(X)$
は$\Phi_{p-1}(X)$
を割り切る.
しかし, 次数が等しいので, ある$C(\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times)$
が存在して,
$$g(X)=C\Phi_{p-1}(X).$$
さらに, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$
のイデアル$(X^{\frac{p-1}{2}}+1)$
を法として考えれば,
$$\overline{f(X)}=\overline{C}\;\overline{\Phi_{p-1}(X)}\;\overline{h(X)}$$
このとき,
$$\deg\overline{f(X)}\le\deg(X^{\frac{p-1}{2}}+1)-1=\frac{p-3}{2}=\deg\Phi_{p-1}(X)=\deg\overline{\Phi_{p-1}(X)}$$
であるから, $\overline{h(X)}$
は0でない定数となり, $\overline{f(X)},\overline{\Phi_{p-1}(X)}$
は互いに定数倍.
したがって, $(\ast)$は示され, このことより, $\Phi_{p-1}(X)$
の項の数は$b\neq0$
のとき, $\phi(p-1)+1.$
例
$p=11$のとき, $A={2,6,7,8}={2,2^3,2^7,2^9}$であり, $b=1.$
\begin{align*} X+X^3+X^7+X^9-1&\equiv X+X^3-X^2-X^4-1\bmod{(X^5+1)}\\ \Phi_{10}(X)&=X^4-X^3+X^2-X+1. \end{align*}
