【数学】Baker-Stark の定理

《キーワード:類数、虚二次体、ガウス、PID、UFD、代数的整数論、Baker、Stark、Heegner》 虚二次体の類数1予想 ガウスは類数が1となる虚二次体*1についての次の命題を実質的に*2予想した。 $m\in\mathbb{N}$ を平方因子を持たない正整数とするとき、虚二次…

【数学】三乗根の計算

学生時代に書いた他のブログの記事*1から転載 図書室で読んだ本に面白いことが… それは普通の電卓で三乗根(の近似値)を計算するというものだった.普通の電卓というのは三角関数などの機能もない100円ショップで手に入るような極めて身近な電卓である. 計算…

【高校数学】逆四平方の定理

《キーワード:ベクトル、四平方の定理、逆四平方の定理》 2019/11/29にたまたま発見した式について 4平方の定理とかいう定理の証明(ヘロンの公式を使うのがおそらく簡単)を試みていたら、図の直方体において、1/h^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2という関係が成り立つ…

【数学】微分不等式

《キーワード:微分不等式、微分方程式、グロンウォールの不等式》 微分方程式はよく聞くが、微分不等式というのは滅多に聞かない。 1年前くらいにとあるフォロワーに次の証明の質問をされたのだが、微分方程式などは門外漢のため初めて見る概念だった。 $$y…

【高校数学】区分求積法

《キーワード:総和、極限、区分求積法、平均値の定理》 twitter で次の問題を見かけた。 問 次の極限を求めよ。#数学 #自作問題 pic.twitter.com/DpprpcyPDE— ren (@ren_265) 2020年1月5日 これは平均値の定理を使うと計算が簡単になる。 takuma on Twitter:…

【高校数学】必要条件と十分条件

必要条件(necessary condition)と十分条件(sufficient condition)というものがある。 $x$ ­に関する条件*1を $p,q$ ­⠀として、 $$p\Rightarrow q$$ が真のとき( $x$ ­が $p$ ­を満たすときは必ず $q$ ­も満たすとき)に定まる用語だ。 習い始めのときは特にど…

【高校数学】和積公式

和積公式というものがある。 sin+sin、cos+cosの2種類あって、次のようになっている。 $$\begin{cases}\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\…

【数学】相加平均・相乗平均

以下のツイートの解説 ある商品の売上の前月比伸び率が4月:-5%5月:15%6月:25%7月:6%8月:-1%だったとすると、3月~8月の5ヵ月間の平均伸び率は何%になるか?(毎月の伸び率をどの一定値にすると同じ結果になるか)に対して伸び率を単純に平均(→8%)すると厳密に…

【高校数学】二次不等式

$$x^2-4x+3>0$$ のような二次不等式。グラフを使って解くことを教えられる。 つまり、 y=x^2-4x+3 のグラフは次のようになっていて、 二次関数 y=0 より上に二次関数があるような x の範囲を図から、 x<a または b<x と読み取る。 今の場合、 x^2-4x+3=0 の解が x=1,3 なので、 a=1,b=3 となり、二次不等式の解は x<1 または 3<x となる。 さて、ここで「なんでグラフを使わなければいけないのか?」という疑問を持つ人がいた。 これに対してはとりあえず、「グラフを使わなくても解ける」ということを言いたい。 (x-1)(x-3)>0 の形から…</a>

はてなブログで広告収入を得たい

広告収入得たいなと思って、設定のところみたら、GoogleAdsenseってのとAmazonアソシエイトってのがあった。 はてなのヘルプには次のようにある。 アフィリエイトをはじめよう - はてな GoogleAdsenseアカウントが必要なので、登録しようとそのページへ。 Go…

【数学】よく考えると危うい三角関数

高校でも大学の理工系の1年次でも三角関数sin,cosは図形的に定義され、誤魔化されることが殆ど。 数学科以外ならあまり気にならないかもしれないが、図形的な誤魔化しをなくして厳密に定義しようとすると、ややこしい状況であることを知る。 また、三角関数…

【数学】有理数と$n$ 進法の小数

《キーワード:有理数、循環小数、位数》 $r\in\mathbb{R}$ に対し、 『$r$が有理数であるためには$r$が有限小数もしくは循環小数であることが必要十分』 が成り立つ。一般に、 $n$ を正整数とするとき、 『$r$が有理数であるためには$r$は$n$進法で有限小数…

【数学・論理学】演繹定理

公理系と仮定 $P$ から命題 $Q$ の証明ができる(これを$P\vdash Q$ で表す)とき、「 $Q$ は $P$ の演繹である」「 $Q$ は $P$ から演繹可能である」という。 これについてエルブランによる次の演繹定理が成り立つ: $P\vdash Q$ ならば、 $\vdash P\rightarro…

【数学・論理学】$\lnot(P\lor Q)\vdash\lnot P\land\lnot Q$ の形式証明

ただの備忘録

【数学】$\Phi_n(x)$ の $\varphi(n)-1$ 次の係数

reisr.hatenablog.com の続きで、$G$の生成元の和を求めます。 皆の投稿 - 原始根の和が0,-1,1のいずれかになることの証明 - 数学博物館 すうじあむ のように包除原理を使って直接求めるのが上手い気がしますが、円分多項式の係数と結びつけたのでその方向で…

【数学】有限体の乗法群と円分多項式の係数

$F_q$を位数$q$の有限体とします。$F_q$の標数を$p$とすれば、ある自然数$f$に対して、 $$q=p^f$$ を満たします。 $G$を$F_q$の乗法群(乗法逆元を持つような元全体からなる群)とすると、$G$の位数は$q-1$になります。 この辺のことは代数学の教科書見れば載…

【その他】(アマチュアの)研究に役立ちそうなもの

テキストに載ってない(≒広くは知られていないもしくは知られていない)ような細かいことを知りたいときに使えそうなサイト候補 Google scholar scholar.google.co.jphttps://scholar.google.co.jp/ 論文とか検索できるGoogleの検索エンジン。数学科の大学院だ…

【技術】\[tex:とか使わずにtexコマンドで数式かけるように

フッターにhtmlという名の呪文を挿入して, texコマンドで数式書けるようにしてみた 参考にしたのは stronger.hatenablog.com 1つ留意すべきなのはそれだけではダメで, 一部を差し替えなければいけないこと www.mathjax.org お分かりだろうか? ちなみに、イ…

ピタゴラス数

ふと、 mizumiya-umi.hatenablog.comを読んで数時間考えてたら、予想が証明できてしまったので、載せます。 $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{Z}\setminus{0}$ を $$a_1^2+b_1^2=c_1^2, a_2^2+b_2^2=c_2^2$$ を満たすものとする.ただし, $2\mid b_1,b_2$ …

【書評】数学の本

持っている本やおすすめの本について。大半は専門書というより読み物。ただし、ここにある本を完全に理解しているわけでもないので誤った説明もあるかもしれない。 フェルマーの最終定理を扱っている物語で最初に読んだのは高校生の頃。最後の方でフェルマー…

多項式のある漸化式

漸化式 はなかなか面白いかもしれません。 とすると、 を満たす多項式 が得られ、また とすると、 を根に持つ多項式 が得られます。 前者は 後者は を初項としたときに漸化式から得られる多項式とも考えられるので、を他の自然数(もしくは整数)に変えると他…

ネットで見つけた予想の部分的な証明

皆の投稿 - 原始根の和と円分多項式 - 数学博物館 すうじあむ にあった予想(@mizumiya_umiさんによる)を$p$にかなりの制限を付けて証明した。 $p$を素数とし, $p-1$ は$2q\;(q:$奇素数$)$ の形とする. $\bmod{p}$ の原始根全体を $$A=\{a_1, \cdots, a_{\var…

根の対称式

2年前にtwitterで次のように呟いた z^5-11z-5=0の解α1~α5に対し、1/(2-α1)+1/(2-α2)+…+1/(2-α5)を求めるのいい計算練習になるよ。大学受験生の— 冷 (@0_A_M_) 2016年4月20日 ※数式の部分を一応見やすく再掲: の解 に対し, これについて昨日考えたが、 当時…

【数学】線形代数

線形代数のイントロダクションというか行列の導入に関して、思い付きで書いてみた 0_A_M_.pdf - Google ドライブ

【数学】実数係数方程式のペアになっている解

実数係数次方程式などに虚数解があるとその複素共役も解になるというのは高校数学の問題で1度は目にしたと思う. まずこれが何故そうなるのかを見ていく. 例えば, 方程式 を考え, これが虚数解 を持ったとすると, 次を満たす. この等式の両辺で複素共役を取る…

【アニメ】「ようこそ実力至上主義の教室へ」の考察や推測

無人島特別試験で龍園がAクラスと結んだ契約の契約書について 12話で出てきたように契約書は印刷されたものということが分かる。 この契約内容はいつ決めたのか、大きく分けて2つになる。 1. 無人島に上陸し、試験の説明を受けたあと この場合、印刷は必然的…

texで図式を書く

\xymatrixを使うと,図式が綺麗に書ける. ・セッティング 簡単LaTeXインストールWindows編(2016年4月版)でインストールした人には参考になると思う \c:\w32tex\donload にある xypic.tar を \c:\w32tex\share\texmf-dist で解凍して展開 ・使い方 まず,\beg…

【技術】texコマンドメモ(随時更新)

・\documentstyle{article}でタイトルを付けるときに上の無駄な余白を縮めたいとき →\title{\vspace{-5cm}タイトル} ・取り消し線を使いたいとき →プリアンブルに\usepackage{ulem}と書き,\sout{取り消し線を被せたい文(数式なら$$を最初と終わりに)} ・合同…

【高校物理を見つめ直す】 相対速度

高校数学参考書

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