レイの数学メモ

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多項式のある漸化式

数学

漸化式

$f_{n+2}(x)=xf_{n+1}(x)-f_n(x)$

はなかなか面白いかもしれません。

$f_1(x)=x,f_2(x)=x^2-2$ とすると、

$t^{n}+t^{-n}=f_n(t+t^{-1})$

を満たす多項式 $f_n(x)$ が得られ、また

$f_1(x)=x,f_2(x)=x^2-1$ とすると、

$2\cos\frac{k\pi}{n+1}\;(k=1,\cdots,n)$

を根に持つ多項式 $f_n(x)$ が得られます。

前者は $f_0(x)=2,f_1(x)=x$

後者は $f_0(x)=1,f_1(x)=x$

を初項としたときに漸化式から得られる多項式とも考えられるので、 $f_0(x)$ を他の自然数(もしくは整数)に変えると他にも面白い多項式が生成できるかもしれません。

興味があれば試してみてはいかが？