【高校数学】区分求積法

《キーワード:総和、極限、区分求積法、平均値の定理

twitter で次の問題を見かけた。

これは平均値の定理を使うと計算が簡単になる。

takuma on Twitter: "平均値の定理ですね。 1/2log2020=log2+1/2(log5+log101) でしょうか?… "

ちなみに、平均値の定理とは

区間 $[a,b]$ で連続で、開区間 $(a,b)$ で微分可能な関数を $f(x)$ とするとき、$(a,b)$ のある点 $c$ に対し、

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$

が成り立つというものだ。

さて、元の問題は次のように一般化できる。

$r>0,\;g(x)$ に対し,

$$\lim_{x \to 0}xg'(x)=0$$

$$g''(x)<0(0<x<r)$$

なら,

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kg\left(\frac{kr}{2n}\right)=\frac{g(r)-g(0)}{2} \end{align}$$

この $g(x)$ として、$\log(1+x)$ を選び、$r=2019$ とおくと、元の問題に対応する。

証明を書いたPDFファイルは次のリンクから参照できる。

drive.google.com