《キーワード：ベクトル、四平方の定理、逆四平方の定理》 2019/11/29にたまたま発見した式について 4平方の定理とかいう定理の証明(ヘロンの公式を使うのがおそらく簡単)を試みていたら、図の直方体において、1/h^2=1/a^2+1/b^2+1/c^2という関係が成り立つ…

《キーワード:微分不等式、微分方程式、グロンウォールの不等式》 微分方程式はよく聞くが、微分不等式というのは滅多に聞かない。 １年前くらいにとあるフォロワーに次の証明の質問をされたのだが、微分方程式などは門外漢のため初めて見る概念だった。 $$y…

《キーワード:総和、極限、区分求積法、平均値の定理》 twitter で次の問題を見かけた。 問 次の極限を求めよ。#数学 #自作問題 pic.twitter.com/DpprpcyPDE— ren (@ren_265) 2020年1月5日 これは平均値の定理を使うと計算が簡単になる。 takuma on Twitter:…

必要条件(necessary condition)と十分条件(sufficient condition)というものがある。 $x$ ­に関する条件*1を $p,q$ ­⠀として、 $$p\Rightarrow q$$ が真のとき( $x$ ­が $p$ ­を満たすときは必ず $q$ ­も満たすとき)に定まる用語だ。 習い始めのときは特にど…

和積公式というものがある。 sin+sin、cos+cosの2種類あって、次のようになっている。 $$\begin{cases}\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\…

以下のツイートの解説 ある商品の売上の前月比伸び率が4月:-5%5月:15%6月:25%7月:6%8月:-1%だったとすると、3月～8月の5ヵ月間の平均伸び率は何%になるか？(毎月の伸び率をどの一定値にすると同じ結果になるか)に対して伸び率を単純に平均(→8%)すると厳密に…

$$x^2-4x+3>0$$ のような二次不等式。グラフを使って解くことを教えられる。 つまり、 y=x^2-4x+3 のグラフは次のようになっていて、 二次関数 y=0 より上に二次関数があるような x の範囲を図から、 x<a または b<x と読み取る。 今の場合、 x^2-4x+3=0 の解が x=1,3 なので、 a=1,b=3 となり、二次不等式の解は x<1 または 3<x となる。 さて、ここで「なんでグラフを使わなければいけないのか？」という疑問を持つ人がいた。 これに対してはとりあえず、「グラフを使わなくても解ける」ということを言いたい。 (x-1)(x-3)>0 の形から…</a>

高校でも大学の理工系の1年次でも三角関数sin,cosは図形的に定義され、誤魔化されることが殆ど。 数学科以外ならあまり気にならないかもしれないが、図形的な誤魔化しをなくして厳密に定義しようとすると、ややこしい状況であることを知る。 また、三角関数…

《キーワード:有理数、循環小数、位数》 $r\in\mathbb{R}$ に対し、 『$r$が有理数であるためには$r$が有限小数もしくは循環小数であることが必要十分』 が成り立つ。一般に、 $n$ を正整数とするとき、 『$r$が有理数であるためには$r$は$n$進法で有限小数…

公理系と仮定 $P$ から命題 $Q$ の証明ができる(これを$P\vdash Q$ で表す)とき、「 $Q$ は $P$ の演繹である」「 $Q$ は $P$ から演繹可能である」という。 これについてエルブランによる次の演繹定理が成り立つ: $P\vdash Q$ ならば、 $\vdash P\rightarro…

ただの備忘録

reisr.hatenablog.com の続きで、$G$の生成元の和を求めます。 皆の投稿 - 原始根の和が0,-1,1のいずれかになることの証明 - 数学博物館 すうじあむ のように包除原理を使って直接求めるのが上手い気がしますが、円分多項式の係数と結びつけたのでその方向で…

$F_q$を位数$q$の有限体とします。$F_q$の標数を$p$とすれば、ある自然数$f$に対して、 $$q=p^f$$ を満たします。 $G$を$F_q$の乗法群(乗法逆元を持つような元全体からなる群)とすると、$G$の位数は$q-1$になります。 この辺のことは代数学の教科書見れば載…

ふと、 mizumiya-umi.hatenablog.comを読んで数時間考えてたら、予想が証明できてしまったので、載せます。 $a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{Z}\setminus{0}$ を $$a_1^2+b_1^2=c_1^2, a_2^2+b_2^2=c_2^2$$ を満たすものとする.ただし, $2\mid b_1,b_2$ …

持っている本やおすすめの本について。大半は専門書というより読み物。ただし、ここにある本を完全に理解しているわけでもないので誤った説明もあるかもしれない。 フェルマーの最終定理を扱っている物語で最初に読んだのは高校生の頃。最後の方でフェルマー…

漸化式 はなかなか面白いかもしれません。 とすると、 を満たす多項式 が得られ、また とすると、 を根に持つ多項式 が得られます。 前者は 後者は を初項としたときに漸化式から得られる多項式とも考えられるので、を他の自然数(もしくは整数)に変えると他…

皆の投稿 - 原始根の和と円分多項式 - 数学博物館 すうじあむ にあった予想(@mizumiya_umiさんによる)を$p$にかなりの制限を付けて証明した。 $p$を素数とし, $p-1$ は$2q\;(q:$奇素数$)$ の形とする. $\bmod{p}$ の原始根全体を $$A=\{a_1, \cdots, a_{\var…

2年前にtwitterで次のように呟いた z^5-11z-5=0の解α1～α5に対し、1/(2-α1)+1/(2-α2)+…+1/(2-α5)を求めるのいい計算練習になるよ。大学受験生の— 冷 (@0_A_M_) 2016年4月20日 ※数式の部分を一応見やすく再掲: の解 に対し, これについて昨日考えたが、 当時…

線形代数のイントロダクションというか行列の導入に関して、思い付きで書いてみた 0_A_M_.pdf - Google ドライブ

実数係数次方程式などに虚数解があるとその複素共役も解になるというのは高校数学の問題で1度は目にしたと思う. まずこれが何故そうなるのかを見ていく. 例えば, 方程式 を考え, これが虚数解 を持ったとすると, 次を満たす. この等式の両辺で複素共役を取る…

色んな場面で出てくるであろう極限 の求め方について。 だから について考える。 まず、これが1以上というのは明らか( )だから とおくと、 両辺をｎ乗して 右辺を二項展開して評価すると よって、 これを整理して ゆえに、 したがって、 となるから 以上から