レイの数学メモ

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【数学】$\frac{\log n}{n}$ (logn/n)

数学

色んな場面で出てくるであろう極限

{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} }

の求め方について。

{\displaystyle \frac{\log n}{n} = \log n^{\frac{1}{n}} }

だから

{\displaystyle n^{\frac{1}{n}} }

について考える。

まず、これが1以上というのは明らか( {\displaystyle n^{\frac{1}{n}} \ge 1^{\frac{1}{n}} = 1 } )だから

{\displaystyle n^{\frac{1}{n}}=1+b_n }

とおくと、

{\displaystyle b_n \ge 0 }

両辺をｎ乗して

{\displaystyle n=(1+b_n)^n\ }

右辺を二項展開して評価すると

{\displaystyle (1+b_n)^n\ }

{\displaystyle =1+ {}_n C_1 \cdot b_n + {}_n C_2 \cdot {b_n}^2 + \cdots +{b_n}^n\ }

{\displaystyle \ge 1+ {}_n C_2 \cdot {b_n}^2\ }

{\displaystyle = 1+ \frac{n(n-1)}{2}{b_n}^2\ }

よって、

{\displaystyle n \ge 1+ \frac{n(n-1)}{2}{b_n}^2\ }

これを整理して

{\displaystyle {b_n}^2 \le \frac{2}{n} \to 0 (n \to \infty)\ }

ゆえに、

{\displaystyle \lim_{n \to \infty} {b_n}^2 = 0\ }

{\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n = 0\ }

したがって、

{\displaystyle 1 \le n^{\frac{1}{n}} = 1 + b_n \to 1\ }

となるから

{\displaystyle \lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1\ }

以上から

{\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0\ }