ネットで見つけた予想の部分的な証明

皆の投稿 - 原始根の和と円分多項式 - 数学博物館 すうじあむ

にあった予想(@mizumiya_umiさんによる)を$p$にかなりの制限を付けて証明した。

$p$を素数とし, $p-1$ は$2q\;(q:$奇素数$)$ の形とする.

$\bmod{p}$ の原始根全体を

$$A=\{a_1, \cdots, a_{\varphi(p-1)}\}$$

とおく.すなわち,

$$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times=\{\bar{a_1}, \cdots, \overline{a_{\varphi(p-1)}}\}$$

また, $0\le b<p$ を

$$\sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}a_i\equiv b\bmod{p}$$

を満たすように取る.

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ は巡回群だから, $\bmod{p}$ の原始根$a$ を1つ選べば,

$$A=\{a^i\mid i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times\}$$

とも表せる.

このとき, 合同式

$$\sum_{i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times}a^i\equiv b\bmod{p}$$

を,

$$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1\bmod{p}$$

によって簡単にすると,

$$\Phi_{p-1}(a)\equiv0\bmod{p}$$

となる(ことを示す)$\cdots(\ast).$

以降の多項式はすべて$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$

の元とする.

$$f(X)=\sum_{i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times}X^i-b,\; g(X)=\prod_{i=1}^{\varphi(p-1)}(X-a_i)\text{ とおく}.$$

すると, $(\ast)$は$f(X)$

を$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$

イデアル$(X^{\frac{p-1}{2}}+1)$

による剰余環上で考えると, $\Phi_{p-1}(X)$

の0でない定数倍になることと言い換えられる.

$b$の定義から, $a_i$は$f(X)$の根になるから,$g(X)$

$f(X)$ を割り切る.

よって,

$$f(X)=g(X)h(X)$$

となる$h(X)$

が存在する.

$a_i$は

$$X^{p-1}-1=\prod_{d\mid(p-1)}\Phi_d(X)$$

の根であるから, $p-1$

のある約数$d$

に対して, $\Phi_d(X)$

の根.

したがって, $X^d-1$

の根となるが, $a_i$は$\bmod{p}$

の原始根だから, $d=p-1.$

つまり, $a_i$ はすべて$\Phi_{p-1}(X)$

の根なので, $g(X)$

は$\Phi_{p-1}(X)$

を割り切る.

しかし, 次数が等しいので, ある$C(\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times)$

が存在して,

$$g(X)=C\Phi_{p-1}(X).$$

さらに, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$

イデアル$(X^{\frac{p-1}{2}}+1)$

を法として考えれば,

$$\overline{f(X)}=\overline{C}\;\overline{\Phi_{p-1}(X)}\;\overline{h(X)}$$

このとき,

$$\deg\overline{f(X)}\le\deg(X^{\frac{p-1}{2}}+1)-1=\frac{p-3}{2}=\deg\Phi_{p-1}(X)=\deg\overline{\Phi_{p-1}(X)}$$

であるから, $\overline{h(X)}$

は0でない定数となり, $\overline{f(X)},\overline{\Phi_{p-1}(X)}$

は互いに定数倍.

したがって, $(\ast)$は示され, このことより, $\Phi_{p-1}(X)$

の項の数は$b\neq0$

のとき, $\phi(p-1)+1.$

$p=11$のとき, $A={2,6,7,8}={2,2^3,2^7,2^9}$であり, $b=1.$

\begin{align*} X+X^3+X^7+X^9-1&\equiv X+X^3-X^2-X^4-1\bmod{(X^5+1)}\\ \Phi_{10}(X)&=X^4-X^3+X^2-X+1. \end{align*}