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logn/n

色んな場面で出てくるであろう極限

{\displaystyle
\lim_{n \to  \infty} \frac{\log n}{n}
}

の求め方について。

{\displaystyle
\frac{\log n}{n} = \log n^{\frac{1}{n}}
}

だから

{\displaystyle
n^{\frac{1}{n}}
}

について考える。

まず、これが1以上というのは明らか( {\displaystyle
n^{\frac{1}{n}} \ge 1^{\frac{1}{n}} = 1
} )だから

{\displaystyle
n^{\frac{1}{n}}=1+b_n
}

とおくと、

{\displaystyle
b_n \ge 0
}

両辺をn乗して

{\displaystyle
n=(1+b_n)^n\
}

右辺を二項展開して評価すると

{\displaystyle
(1+b_n)^n\
}

{\displaystyle
=1+ {}_n C_1 \cdot b_n + {}_n C_2 \cdot {b_n}^2 + \cdots +{b_n}^n\
}

{\displaystyle
\ge 1+ {}_n C_2 \cdot {b_n}^2\
}

{\displaystyle
= 1+ \frac{n(n-1)}{2}{b_n}^2\
}

よって、

{\displaystyle
n \ge 1+ \frac{n(n-1)}{2}{b_n}^2\
}

これを整理して

{\displaystyle
{b_n}^2 \le \frac{2}{n}  \to 0  (n \to \infty)\
}

ゆえに、

{\displaystyle
\lim_{n \to \infty} {b_n}^2 = 0\
}

{\displaystyle
\lim_{n \to \infty} b_n = 0\
}

したがって、

{\displaystyle
1 \le n^{\frac{1}{n}} = 1 + b_n \to 1\
}

となるから

{\displaystyle
\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1\
}

以上から

{\displaystyle
\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0\
}