【数学】三乗根の計算

学生時代に書いた他のブログの記事*1から転載

図書室で読んだ本に面白いことが…

それは普通の電卓で三乗根(の近似値)を計算するというものだった.普通の電卓というのは三角関数などの機能もない100円ショップで手に入るような極めて身近な電卓である.

計算方法

① 1を入力

② 2をかける

③「√ 」のボタンを2回続けて連打

④ ②,③の操作をもう一回

⑤ ④の操作を1セットをしても値が変わらなくなるまで、④を繰り返す

⑥ 値が変わらなくなったときの値が $\sqrt[3]{2}$ である

手元の電卓で実際にやってみる

{\displaystyle 1\overset{\times2}{\rightarrow}2\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.4142135\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.189207}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.378414\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5422107\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2418577}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.4837154\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5759807\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2553806}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5107612\overset{\sqrt{\,}}{\rightarrow}1.5845381\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2587843}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5175686\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5866847\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2596367}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5192734\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5872219\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2598499}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5196998\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873562\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599032}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198064\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873898\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599165}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.519833\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5873981\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599198}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198396\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874002\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599207}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198414\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874008\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599209}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198418\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.5874009\overset{\sqrt{}}{\rightarrow}1.2599209}

{\displaystyle \overset{\times2}{\rightarrow}2.5198418\rightarrow\cdots}

となったから, {\displaystyle \sqrt[3]{2}\fallingdotseq1.2599209}

実際に三乗を計算すると, {\displaystyle 1.2599209^3=1.99999928617}{\displaystyle \sqrt[3]{2}} の近似値と言える.

三乗根の近似値が求まる数学的原理

2をかけて2回√ をとるという一連の操作が $n$ 回行われたときの値を $a_n$ とおくと,

$a_0=1$ であり,

$$a_{n+1}=\sqrt{\sqrt{2a_n}}$$

となるから,

$$\log a_{n+1}=\frac{1}{4}\log2a_n=\frac{1}{4}(\log a_n+\log2)$$

この漸化式を解くと,

$$\log a_n=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})\log2$$

つまり,

$$a_n=2^{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4^n})}\rightarrow 2^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}(n\rightarrow\infty)$$

だから, 数列 ${a_n}$ は $\sqrt[3]{2}$ に 収束する.

この証明から②の「2をかける」の部分を「3をかける」や「5をかける」に変えれば,それぞれ $ \sqrt[3]{3},\sqrt[3]{5}$ の近似値が得られる.

感想

確かめてみると原理に何も疑うところはないのだが、三乗根は電卓のルート計算で求められるという発想がなかったので、新鮮だった.

参考文献

数理解析研究所講究録1920 RIMS共同研究 「数学教師に必要な数学能力の育成法に関する研究」p113

*1:2017年1月作成