【高校数学】必要条件と十分条件

必要条件(necessary condition)と十分条件(sufficient condition)というものがある。

$x$ ­に関する条件*1を $p,q$ ­⠀として、

$$p\Rightarrow q$$

が真のとき( $x$ ­が $p$ ­を満たすときは必ず $q$ ­も満たすとき)に定まる用語だ。

習い始めのときは特にどっちがどっちか分からなくなる。

今の場合は $p$ ­は $q$ ­であるための十分条件 であり、 $q$ ­は $p$ ­であるための「必要条件」 である。

  • 次のような図にまとめてもいいかもしれない。

十分条件 ­$\Rightarrow$ ⠀必要条件…①

①は十分条件の方から見ると自分から離れるように矢印が伸びていて、相手に何かを押し返して「いらない!もう"十分"だ!」と言っているシーンに見えなくもない。

必要条件の方から見れば自分に近づくように矢印が伸びていて、手を伸ばして「ちょうだい!それ、"必要"なの!」と言っているシーンに見えなくもない。

高校生時代に、クラスメイトが塾の先生からこの覚え方を教えてもらったのを聞いて知ったものだ。

ウマイこと考えるものだなあと思いながらも、当時の印象は強く、今でも現に覚えている。

  • さて、$p\Rightarrow q$ ­⠀ …② は真理集合を考えると、包含関係になる。

真理集合というのは条件を満たすような $x$ ­⠀を全部集めて作った集合のことだ。

例えば、「 $x$ ­は $3$ ­の倍数である」という条件の真理集合は

$$\{0,\pm3,\pm6,\pm12,\ldots\}$$

である。

$P,Q\;$ ­­をそれぞれ $p,q\;$ ­ の真理集合とすると、$x\in P$ ­ ­⠀は「 $x$ は $p$ ­を満たす」ということで、$x\in Q$ ­⠀は­「 $x$ は $q$ ­を満たす」ということだから、②は 「 $x\in P$ ­⠀ならば $x\in Q$ ­⠀」となる。つまり、

$$P\subset Q$$

という包含関係(…③)になる。

$p$ ­は( $q$ ­であるための)"十分条件"で、それに対応する $P$ ­が $Q$ ­に含まれているから、③のことを次のような図で覚えてそこから②を思い出すというやり方があるらしい*2

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タヌキのおへそ

そして、これをタヌキのおへそに例えていた。

  • どっちが必要条件かの覚え方を2つ紹介した。

しかしながら、なんで必要条件なんだろう?という疑問は残る。

その疑問のもと、なるべく理屈で納得できるような説明を当時考えたので、それ*3を紹介したいと思う。

まず、$p\Rightarrow q$ ­⠀ ­⠀の対偶は $\bar{q}\Rightarrow\bar{p}$ ­⠀ ­⠀である。

つまり、$q$ ­が成り立たなければ、絶対に $p$ ­は成り立たない。

これを言い換えれば、$p$ ­が成り立つためには $q$ ­が成り立つことが「必要」。

ここから、$q$ は $p$ ­であるための「必要条件」と言うのではないか?

また、 $p$ が成り立つとき $q$ が成り立つが、$p$ ではない他の $r$ が成り立つときに $q$ は成り立つかもしれない。

前提条件は色々あるし、$p$ が必要とは限らないが、$q$ が成り立つためには $p$ が成り立つことが分かっていれば事足りる、十分だ。

つまり、$p$ は $q$ ­であるための「十分条件」と言うのではないか?

*1:$x$ に具体的な数値を代入すると命題になるもの、つまり、真偽が定まるもの

*2:習ったときの教師がこの覚え方を推奨していた

*3:かなり前のことなので、細部までは覚えていない