【高校数学】和積公式

和積公式というものがある。

sin+sin、cos+cosの2種類あって、次のようになっている。

$$\begin{cases}\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\end{cases}$$

さて、この公式は「どういう形の公式か?」(=sin,cosの和を積に変換する)ということさえ覚えていけば、暗記しなくても困らないものだ。

なぜなら、加法定理の式を足し引きすればすぐに出てくる公式だから。

減らせるなら暗記は減らした方がいい。だって、完璧に暗記するのは大変だから。

ということでまずは加法定理を書いてみよう。

\[\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\cdots(1)\]

\[\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\cdots(2)\]

\[\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\cdots(3)\]

\[\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\cdots(4)\]

ちなみに、 $A-B$ ­⠀の方は $A+B$ ­⠀の場合の等式の $B$ のところを $-B$ に換えて、

\[\sin(-B)=-\sin B,\;\cos(-B)=\cos B\]

という関係を使えば、$A+B$ ­⠀の場合だけを覚えていればすぐに分かる。

和積公式はsin+sinやcos+cosだから「加法定理の左辺」*1に注目する。(1)に(2)を足せば

\[\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B\]

となり、(3)に(4)を足せば

\[\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B\]

となる。

あとは、

\[\alpha=A+B,\beta=A-B\]

となるようなA,Bを見つければ和積公式となる。

つまり、("A,Bに関する"連立方程式を解いて)

\[A=\frac{\alpha+\beta}{2},B=\frac{\alpha-\beta}{2}\]

とすればよい。

具体例として、 $\cos7x+\cos x$ ­⠀ ­⠀を考えよう。まず、

\[A+B=7x,\;A-B=x\]

となるようにA,Bを決めるが、これは

\[A=\frac{7x+x}{2}=4x,\;B=\frac{7x-x}{2}=3x\]

と分かる。そこで、

$$7x=4x+3x,\;x=4x-3x$$

とみて、加法定理を使うと、

\[\cos7x=\cos4x\cos3x-\sin4x\sin3x,\\ \cos x=\cos4x\cos3x+\sin4x\sin3x\]

この等式を足せば、

\[\cos7x+\cos x=2\cos4x\cos3x\]

となって、"和積"終わり。

*1:積和公式のときは右辺に注目することになる