【数学】相加平均・相乗平均

以下のツイートの解説

$n$ 月の売上を $a(n)$ 、前月比伸び率を $k(n)$ %とすると、

$$\frac{a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}=\frac{k(n)}{100}$$

となる。これを変形すると、

$$a(n)=(1+\frac{k(n)}{100})a(n-1)$$

だから、

$$a(8)=(1+\frac{k(4)}{100})(1+\frac{k(5)}{100})(1+\frac{k(6)}{100})(1+\frac{k(7)}{100})(1+\frac{k(8)}{100})a(3)\ldots(1)$$

一方、平均伸び率を $k$ %とすると、

$$\frac{a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}=\frac{k}{100}$$

となる。これを変形すると、

$$a(n)=(1+\frac{k}{100})a(n-1)$$

だから、

$$a(8)=(1+\frac{k}{100})^5a(3)\ldots(2)$$

となり、(1)(2)から、

$$(1+\frac{k}{100})^5a(3)=(1+\frac{k(4)}{100})(1+\frac{k(5)}{100})(1+\frac{k(6)}{100})(1+\frac{k(7)}{100})(1+\frac{k(8)}{100})a(3)$$

よって*1

$$1+\frac{k}{100}=\sqrt[5]{(1+\frac{k(4)}{100})(1+\frac{k(5)}{100})(1+\frac{k(6)}{100})(1+\frac{k(7)}{100})(1+\frac{k(8)}{100})}$$

相乗平均≤相加平均*2より、

$$\le\frac{(1+\frac{k(4)}{100})+(1+\frac{k(5)}{100})+(1+\frac{k(6)}{100})+(1+\frac{k(7)}{100})+(1+\frac{k(8)}{100})}{5}$$

$$=1+\frac{\frac{k(4)}{100}+\frac{k(5)}{100}+\frac{k(6)}{100}+\frac{k(7)}{100}+\frac{k(8)}{100}}{5}$$

したがって、

$$\frac{k}{100}\le\frac{\frac{k(4)}{100}+\frac{k(5)}{100}+\frac{k(6)}{100}+\frac{k(7)}{100}+\frac{k(8)}{100}}{5}$$

となり、両辺に $100$ を掛ければ

$$k\le\frac{k(4)+k(5)+k(6)+k(7)+k(8)}{5}$$

つまり、単純に伸び率を平均して求めた方が大きい。

*1:厳密にはa(3)≠0というか前月比伸び率は有限値を最初に断らないとだめ

*2:a(n)≥0だから、1+k(n)/100≥0