【高校数学】二次不等式

$$x^2-4x+3>0$$

のような二次不等式。グラフを使って解くことを教えられる。

つまり、 y=x^2-4x+3 のグラフは次のようになっていて、

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二次関数

y=0 より上に二次関数があるような x の範囲を図から、 x<a または b<x と読み取る。

今の場合、 x^2-4x+3=0 の解が x=1,3 なので、 a=1,b=3 となり、二次不等式の解は x<1 または 3<x となる。

さて、ここで「なんでグラフを使わなければいけないのか?」という疑問を持つ人がいた。

これに対してはとりあえず、「グラフを使わなくても解ける」ということを言いたい。

(x-1)(x-3)>0

の形から始める。

(x-1)で割れて、x-3>0になればx>3となって解けたとなりそうだが、そうではない。

割るものが正か負かで不等号の向きは変わるし、0だったらそもそも割れない。

なので場合分けをすることになる。

(1)x>1のとき、

x-1>0なので不等号の向きは変わらず、x-3>0となる。つまり、x>3

この範囲はx>1という条件で制限されることはない。

(2)x<1のとき、

x-1<0なので不等号の向きが変わって、x-3<0となる。つまり、x<3

しかし、x<1という条件があるので、このx<3はx<1と範囲が制限される。

(3)x=1のとき、

x2-4x+3=12-4・1+3=0となり、正にはならないので、この場合は元の不等式を満たさず、解とならない。

したがって、(1)~(3)からx<1またはx>3が二次不等式の解となる。

余談だが、かなり昔の高校生はこのように解いていたというのをどこかで見た覚えがある。