【数学】よく考えると危うい三角関数

高校でも大学の理工系の1年次でも三角関数sin,cosは図形的に定義され、誤魔化されることが殆ど。

数学科以外ならあまり気にならないかもしれないが、図形的な誤魔化しをなくして厳密に定義しようとすると、ややこしい状況であることを知る。

また、三角関数に関する極限

$$\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$$

の証明で高校で教えられるものは循環論法であるという記事を見かけた人も多いだろう。

三角関数の厳密な定義として次が考えられる。

1、初期値ありの微分方程式の解の一意存在性を用いて定義

つまり、

$$y''+y=0,y'(0)=1,y(0)=0$$

の解で実数全体を定義域とする関数を

$$y=\sin x$$

と定める。

2、べき級数として定義

つまり、実数上で定義された収束半径 $\infty$ のべき級数

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

として定める。

どちらも1年次の講義の前半で軽々と解説できる代物ではないので、とりあえずは図形的な定義で誤魔化しておいて、後から(興味ある人のみが)その定義を確認し直す、という形になる。