高校数学の2つの平均値

平均値は高校数学(新課程)で二度出てくる。数学Ⅰの「データの分析」における平均値、数学Bの「確率分布と統計的推定」における平均値である。

まず、それらの定義と例を書くと

【数学Ⅰにおける平均値】

変量 {\displaystyle x } の階級値 {\displaystyle x_1,\ldots,x_N } に対応する度数を {\displaystyle f_1,\ldots,f_N } とするとき, {\displaystyle x } の平均値 {\displaystyle \overline{x} } は次で定められる

{\displaystyle \overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N}x_if_i}{N}}

例えば,生徒50人に数学のテストを行ったときの得点が

20点→0人

30点→2人

40点→3人

50点→10人

60点→15人

70点→10人

80点→5人

90点→3人

100点→2人

のとき,

得点 {\displaystyle X } の平均 {\displaystyle \overline{X} }

{\displaystyle \overline{X}=\frac{20\times0+30\times2+40\times3+50\times10+60\times15+70\times10+80\times5+90\times3+100\times2}{50}=63 }

【数学Bにおける平均値】

(離散的な)確率変数 {\displaystyle x } の取りうる値 {\displaystyle x_1,\ldots,x_N } に対する確率を {\displaystyle p_1,\ldots,p_N } とするとき, {\displaystyle x } の平均値 {\displaystyle E(x) } は次で定められる

{\displaystyle E(x)=\sum_{i=1}^{N}x_ip_i }

例えば,1~4の数字が書かれているカードが入ってる袋から1枚をランダムに取り出すとき

1のカードが出る確率→{\displaystyle \frac{3}{25} }

2のカードが出る確率→{\displaystyle \frac{7}{50} }

3のカードが出る確率→{\displaystyle \frac{27}{50} }

4のカードが出る確率→{\displaystyle \frac{1}{5} }

なら,カードに書かれている数字 {\displaystyle X } の平均値 {\displaystyle E(X) }

{\displaystyle E(X)=1\times\frac{3}{25}+2\times\frac{7}{50}+3\times\frac{27}{50}+4\times\frac{1}{5}=2.82 }

この2つの平均値は見た目から違うものと捉えてしまいがちだが,本質は同じものである。

(準備中)