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逆数和

今日、twitterで次のようなツイートを見た


{\displaystyle
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}
} は整数でないことを証明できますか~?????」


よし、証明しよう。ただし、{\displaystyle 2 \leq n} について


まず、{\displaystyle a}{\displaystyle 2^a \leq n < 2^{a+1}} を満たす自然数とする


すると、

{\displaystyle
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}
}

{\displaystyle
\leq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2^a}+\cdots+\frac{1}{2^{a+1}-1}
}

{\displaystyle
< 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^a}+\cdots+\frac{1}{2^a}
}

左の2項を除くと各{\displaystyle i=1,2,\cdots,a }について{\displaystyle \frac{1}{2^i}}{\displaystyle 2^{i-1}}個(←数え間違いです:2016/6/2)あるから

{\displaystyle
= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}
}

{\displaystyle
= 1+\frac{1}{2}+\frac{a}{2}
}

{\displaystyle
= \frac{a+3}{2}
} (←数え間違いなので不成立です:2016/6/2)


次に、

{\displaystyle
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}
}

{\displaystyle
\geq 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\cdots+\frac{1}{2^{a-1}+1}+\cdots+\frac{1}{2^a}
}

{\displaystyle
> 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\cdots+\frac{1}{2^a}+\cdots+\frac{1}{2^a}
}

左の1項を除くと各{\displaystyle i=1,2,\cdots,a }について{\displaystyle \frac{1}{2^i}}{\displaystyle 2^{i-1}}個あるから

{\displaystyle
= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}
}

{\displaystyle
= 1+\frac{a}{2}
}

{\displaystyle
= \frac{a+2}{2}
}


つまり、次の不等式が成立することになる。

{\displaystyle
\frac{a+2}{2} < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} < \frac{a+3}{2}
}

また、最も左の辺と最も右の辺のどちらか一方は整数になることとその差が0.5であることから

{\displaystyle
\left\lfloor \frac{a+2}{2}\right\rfloor \leq \frac{a+2}{2}
} {\displaystyle
,\frac{a+3}{2} \leq \left\lfloor \frac{a+2}{2}\right\rfloor +1
}

であるから、結局

{\displaystyle
\left\lfloor \frac{a+2}{2}\right\rfloor <  1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n} <  \left\lfloor \frac{a+2}{2}\right\rfloor +1
}

となり、 {\displaystyle
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}
} は整数とならないことが分かる。

はいこれにて証明終わり。Q.E.D!(←証明できていません:2016/6/2)


ちなみに、

{\displaystyle
n \rightarrow \infty} とするとこれは {\displaystyle
a \rightarrow \infty} と同値で、このとき

{\displaystyle
\frac{a+2}{2} \rightarrow \infty}

となるから

{\displaystyle
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}+\cdots
}

の発散も分かる。


小さいものを足していってるのにその和は無限大に大きくなるってイメージしにくいし不思議だよね~

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