【数学】有限体の乗法群と円分多項式の係数
$F_q$を位数$q$の有限体とします。$F_q$の標数を$p$とすれば、ある自然数$f$に対して、 $$q=p^f$$ を満たします。
$G$を$F_q$の乗法群(乗法逆元を持つような元全体からなる群)とすると、$G$の位数は$q-1$になります。
この辺のことは代数学の教科書見れば載っているよく知られた事実です。
$G$の生成元を $$a_1,\dots,a_{\varphi(q-1)}$$ ($\varphi$はオイラー関数)とすると、それらは位数がちょうど$q-1$であるような$F_q$の元なので、$F_q$係数の多項式として $$\prod_{i=1}^{\varphi(q-1)}(x-a_i)=\Phi_{q-1}(x)$$ ($\Phi_n(x)$は$n$位の円分多項式)が成り立ちます。
すると、係数を比較することにより、 $$(G\text{の生成元の和})=-(\Phi_{q-1}(x)\text{の}x^{\varphi(q-1)-1}\text{の係数})$$ が分かります。
ここで、$q-1$が素数の平方で割れる、すなわち、ある素数$l$と自然数$n$に対して、$q-1=l^2n$が成り立つとすると、 $$\Phi_{q-1}(x)=\Phi_{ln}(x^l)$$ となるので(これも円分多項式について載っている代数学の教科書にほぼ載っている)、$\Phi_{q-1}(x)$の$x^{\varphi(q-1)-1}$の係数は$0$になるしかありません。 したがって、この場合$G$の生成元の和は$0$です。
【その他】(アマチュアの)研究に役立ちそうなもの
テキストに載ってない(≒広くは知られていないもしくは知られていない)ような細かいことを知りたいときに使えそうなサイト候補
scholar.google.co.jphttps://scholar.google.co.jp/
論文とか検索できるGoogleの検索エンジン。数学科の大学院だとMathSciNetを論文検索手段として教えられるが、ログインしないと使えない。Google scholarは(少なくとも)検索は誰でもできる
まあ、他の説明はWikipediaかなんかを参照して下さい
ja.m.wikipedia.orghttps://ja.m.wikipedia.org/wiki/Google_Scholar
Math stack exchange
プロ(?)が質問に答えてくれるらしい数学質問サイト。自分が知りたい些細なことに近いことが載ってることもあるからGoogle scholarでヒットしなかったらこっちで質問するのもアリ。英語だけど
【技術】\[tex:とか使わずにtexコマンドで数式かけるように
フッターにhtmlという名の呪文を挿入して, texコマンドで数式書けるようにしてみた
参考にしたのは
1つ留意すべきなのはそれだけではダメで, 一部を差し替えなければいけないこと
お分かりだろうか？
ちなみに、インラインモードだと$で囲むのはいいけど、\(で囲むのはなんかダメっぽい
ディスプレイ表示は$$も\[もどちらもいけるっぽい
ピタゴラス数
ふと、 mizumiya-umi.hatenablog.comを読んで数時間考えてたら、予想が証明できてしまったので、載せます。
$a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{Z}\setminus{0}$
を
$$a_1^2+b_1^2=c_1^2, a_2^2+b_2^2=c_2^2$$
を満たすものとする.ただし, $2\mid b_1,b_2$
となるように取る.
$$D_1=a_1a_2+b_1b_2,D_2=a_1b_2-a_2b_1$$
とおく.
ピタゴラス数の性質より,
$$\begin{cases} a_1=a_1'^2-b_1'^2,\\ b_1=2a_1'b_1' \end{cases},\quad \begin{cases} a_2=a_2'^2-b_2'^2,\\ b_2=2a_2'b_2' \end{cases}$$
を満たす $a_1',a_2',b_1',b_2'\in\mathbb{Z}$
が取れるから,
$$D_1+D_2i=(a_1-b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1'-b_1'i)^2(a_2'+b_2'i)^2$$
となり, $x,y\in\mathbb{Z}$
で
$$x^2-y^2=D_1, 2xy=D_2$$
を満たすものが存在する.
よって,
$$\begin{cases} -D_2^2+4x^4=4x^4-4x^2y^2=4D_1x^2,\\ D_2^2-y^4=4x^2y^2-y^4=4D_1y^2 \end{cases}$$
$$\therefore x^2=\frac{D_1\pm\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}, y^2=\frac{-D_1\pm\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}$$
ここで,
$$2x^2-D_1=x^2+y^2, 2y^2+D_1=x^2+y^2$$
であるから, 根号の前は正符号であり,
$$x^2=\frac{D_1+\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}, y^2=\frac{-D_1+\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}$$
となる.
一方, $c_1^2c_2^2=(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)=D_1^2+D_2^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2$
より, $c_1c_2=x^2+y^2$
であるから,
$$\frac{a_1a_2+b_1b_2-c_1c_2}{2}=\frac{D_1-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(x^2-y^2)-(x^2+y^2)}{2}=-y^2$$
したがって,
\begin{align*} \left(\frac{a_1+a_2}{2}\right)^2+\left(\frac{b_1+b_2}{2}\right)^2+y^2 &=\frac{a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2+2a_1a_2+2b_1b_2}{4}+\frac{-a_1a_2-b_1b_2+c_1c_2}{2}\\ &=\frac{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2}{4}\\ &=\left(\frac{c_1+c_2}{2}\right)^2 \end{align*}
【書評】数学の本
持っている本やおすすめの本について。大半は専門書というより読み物。ただし、ここにある本を完全に理解しているわけでもないので誤った説明もあるかもしれない。
フェルマーの最終定理を扱っている物語で最初に読んだのは高校生の頃。最後の方でフェルマーの最終定理がどう示されたかを命題の間の論理関係に落とし込んで説明していて、感心させられた。論理関係に落とし込むとはどういうことかもう少し説明すると、｢フェルマーの最終定理が成り立たないとこういう曲線ができるけど、そういう曲線は存在しないことが知られている。だから、フェルマーの最終定理が成り立つ｣というようなことが書かれている。
5次以上の方程式には解の公式が存在しない、ということは数学に興味ある人ならどこかで聞いたことがあるはず。これを示すためにはガロア理論というものが応用される。ガロア理論には群、体(たい)という高校では聞かない概念が使われていて、普通の高校生には敷居が高いように思える。その群というものを公理をただ持ち出して抽象的に説明するのではなくアミダクジという馴染みやすい例を用いて説明しているため、高校生にもおすすめできる。また、ガロア理論を数学書で学んだが、数学書によくある公理→定理→証明の連続のために分かったという気になれない人にも、具体的に見てみることで何かの助けになるかもしれない。
大学数学とはどんなものなのかを知りたい人に一読を勧めたい。
数学の研究を将来の一候補にしている人や数学の道を続けようか迷っている人に勧めたい。数学者が若いとき(学生時代など)に経験したエピソードや何を考えていたかなどを少し知ることができる。
ガロアの伝記が第一部で、ガロア理論に続く現代数学の流れの概説が第二部になっている。ガロアについて知りたい人やガロア理論を超えた先に何があるのが知りたい人に勧めたい。
\[p\textbf{が平方数の二つの和で表せる}\Leftrightarrow p\equiv1\bmod{4}\]
が成り立つことを発見した。この定理を含む理論に類体論というものがあり、その先に非可換類体論というものがある。これらのことはフェルマーの最終定理や佐藤テイト予想というものと深く関連している。その流れを概説する本であり、数論に興味ある人に勧めたい。
東大出版の数学の基礎(集合・数・位相)の記号論理のところより断然分かりやすかった。それはこちらは啓蒙書の部類だから当然といえば当然なのだが。分かりやすい理由としてはタイトルにもあるように普段使う日本語の論理から入って適宜記号論理の言葉の類似を使って説明したあとに、数学の記号論理へと入っていく橋渡し的な構成がされているから、と思う。数学科入ってεδ悩んでいる人に一読を薦めたい。
群、環、体などの(抽象)代数学の初歩を学び終えた頃に代数学って何なのだろうと思い、図書室で借りて、興味を惹いたところだけ読んだ本。代数学を学んでいくうちに、その起源を知りたくなったら読んでみては如何？
最近知って、色々と衝撃を受けた本。自分の理解って浅いんだなぁと改めて思い知らされてしまった。内容を１つだけ取り上げると、(-1)×(-1)=1について、環論学んだ人がやりがちな証明は証明じゃないと言っていて、一読の価値がある。代数の初歩は一通り学んで数論をやろうかなって人も読んでみるといい。証明はまともに読まずに流れだけをざっと読むだけでも得られるものはあると思う。
ネットで見つけた予想の部分的な証明
皆の投稿 - 原始根の和と円分多項式 - 数学博物館 すうじあむ
にあった予想(@mizumiya_umiさんによる)を$p$にかなりの制限を付けて証明した。
$p$を素数とし, $p-1$ は$2q\;(q:$奇素数$)$ の形とする.
$\bmod{p}$ の原始根全体を
$$A=\{a_1, \cdots, a_{\varphi(p-1)}\}$$
とおく.すなわち,
$$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times=\{\bar{a_1}, \cdots, \overline{a_{\varphi(p-1)}}\}$$
また, $0\le b<p$ を
$$\sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}a_i\equiv b\bmod{p}$$
を満たすように取る.
$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ は巡回群だから, $\bmod{p}$ の原始根$a$ を１つ選べば,
$$A=\{a^i\mid i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times\}$$
とも表せる.
このとき, 合同式
$$\sum_{i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times}a^i\equiv b\bmod{p}$$
を,
$$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1\bmod{p}$$
によって簡単にすると,
$$\Phi_{p-1}(a)\equiv0\bmod{p}$$
となる(ことを示す)$\cdots(\ast).$
以降の多項式はすべて$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$
の元とする.
$$f(X)=\sum_{i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times}X^i-b,\; g(X)=\prod_{i=1}^{\varphi(p-1)}(X-a_i)\text{ とおく}.$$
すると, $(\ast)$は$f(X)$
を$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$
のイデアル$(X^{\frac{p-1}{2}}+1)$
による剰余環上で考えると, $\Phi_{p-1}(X)$
の0でない定数倍になることと言い換えられる.
$b$の定義から, $a_i$は$f(X)$の根になるから,$g(X)$
は
$f(X)$ を割り切る.
よって,
$$f(X)=g(X)h(X)$$
となる$h(X)$
が存在する.
$a_i$は
$$X^{p-1}-1=\prod_{d\mid(p-1)}\Phi_d(X)$$
の根であるから, $p-1$
のある約数$d$
に対して, $\Phi_d(X)$
の根.
したがって, $X^d-1$
の根となるが, $a_i$は$\bmod{p}$
の原始根だから, $d=p-1.$
つまり, $a_i$ はすべて$\Phi_{p-1}(X)$
の根なので, $g(X)$
は$\Phi_{p-1}(X)$
を割り切る.
しかし, 次数が等しいので, ある$C(\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times)$
が存在して,
$$g(X)=C\Phi_{p-1}(X).$$
さらに, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$
のイデアル$(X^{\frac{p-1}{2}}+1)$
を法として考えれば,
$$\overline{f(X)}=\overline{C}\;\overline{\Phi_{p-1}(X)}\;\overline{h(X)}$$
このとき,
$$\deg\overline{f(X)}\le\deg(X^{\frac{p-1}{2}}+1)-1=\frac{p-3}{2}=\deg\Phi_{p-1}(X)=\deg\overline{\Phi_{p-1}(X)}$$
であるから, $\overline{h(X)}$
は0でない定数となり, $\overline{f(X)},\overline{\Phi_{p-1}(X)}$
は互いに定数倍.
したがって, $(\ast)$は示され, このことより, $\Phi_{p-1}(X)$
の項の数は$b\neq0$
のとき, $\phi(p-1)+1.$
例
$p=11$のとき, $A={2,6,7,8}={2,2^3,2^7,2^9}$であり, $b=1.$
\begin{align*} X+X^3+X^7+X^9-1&\equiv X+X^3-X^2-X^4-1\bmod{(X^5+1)}\\ \Phi_{10}(X)&=X^4-X^3+X^2-X+1. \end{align*}
