2018-02-13

【数学】実数係数方程式のペアになっている解

数学

実数係数 $3$ 次方程式などに虚数解があるとその複素共役も解になるというのは高校数学の問題で1度は目にしたと思う.

まずこれが何故そうなるのかを見ていく.

例えば, 方程式 $x^3+x-1=0$ を考え, これが虚数解 $\alpha$ を持ったとすると, 次を満たす.

$\alpha^3+\alpha-1=0$

この等式の両辺で複素共役を取ると

$\bar{\alpha}^3+\bar{\alpha}-1=0$

となるから, 複素共役 $\bar{\alpha}$ も方程式 $x^3+x-1=0$ の解になるというわけである.

ところで, 複素共役には次の性質があると習う.

$\cdot\overline{\alpha+\beta}=\bar{\alpha}+\bar{\beta} \quad\cdot\overline{\alpha\beta}=\bar{\alpha}\bar{\beta}$

これは環準同型というものの一種になっている.

環準同型とは何か？というと, 次を満たす関数(普通は写像とよぶ) $\sigma$ のことである.

$\sigma(1)=1,\quad\sigma(x+y)=\sigma(x)+\sigma(y),\quad\sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)$

関数 $\tau$ は複素数 $\alpha$ に対し, $\tau(\alpha)=\bar{\alpha}$ を満たすとする(これを複素共役写像とよぶ).

このとき, $\tau$ は環準同型であり,実数を代入したときの値は元の値と変わらない.

こういう関数で作ったペア $\alpha,\tau(\alpha)$ は同じ実数係数方程式の解になっている.

このようなペアが出来るには複素共役の性質に赤で書かれたものがあるのがミソになっていて, そのような性質があれば複素共役以外でもペアの解が出てくる.

(ちなみに, 係数に実数ではないものがあるときは複素共役も解になるとは限らない.)

実は有理数の平方根を $(-1)$ 倍する関数はその性質(環準同型であり, 有理数を代入しても変わらない)を持っている. ※ただし,その有理数は何かの2乗ではないとする.

例えば, $\sqrt{5}$ を $-\sqrt{5}$ に写す関数 $\rho$ である.

ここで, 関数の定義域は何かというと $\sqrt{5}$ と有理数の四則演算で得られる数( $1+\sqrt{5}, \frac{2}{3-\sqrt{5}}$ など)全体である.

すると, 有理数係数方程式に $3+\sqrt{5}$ という解があれば, $\rho(3+\sqrt{5})=3-\sqrt{5}$ も解である.

例えば, 方程式 $x^4-6x^3+5x^2-6x+4=0$ には $3+\sqrt{5}$ という解があるので, $3-\sqrt{5}$ も解であると分かる.

2017-10-04

【アニメ】｢ようこそ実力至上主義の教室へ｣の考察や推測

その他

無人島特別試験で龍園がAクラスと結んだ契約の契約書について

12話で出てきたように契約書は印刷されたものということが分かる。 f:id:reiSR:20171004161838p:plain

この契約内容はいつ決めたのか、大きく分けて2つになる。

1. 無人島に上陸し、試験の説明を受けたあと

この場合、印刷は必然的に上陸後になる。すると、どうやって印刷したのかとなるが、学校側は試験を運営するためにパソコンなどの電子機器類を用いている。この中にプリンタもあったと考えるのが妥当で、パソコンなどでデータを入力し印刷したのはCクラスの担任の坂上先生ではないだろうか。

2. 無人島上陸前

契約内容からして試験内容を把握してないとおかしい。とすると、試験内容を説明される前から龍園は把握していたということで、坂上先生が情報を流したのではないだろうか。

2016-11-10

texで図式を書く

その他

\xymatrixを使うと,図式が綺麗に書ける.

・セッティング

簡単LaTeXインストールWindows編（2016年4月版）でインストールした人には参考になると思う

\c:\w32tex\donload

にある xypic.tar を

\c:\w32tex\share\texmf-dist

で解凍して展開

・使い方

まず,\begin{document}の前に\usepackage[all]{xy}

書くときは

\xymatrix{ コマンド}

コマンドの形式はarray環境のようなもので&で区切る

まず,矢印の始点となる集合を配置

次に,各集合を始点とする矢印をその集合と同じ成分に書く

・具体的なコマンド

\ar[u]:上矢印

\ar[d]:下矢印

\ar[l]:左矢印

\ar[r]:右矢印

\ar[rr]:右矢印(2個分)

\ar[ul]:斜め左上矢印

\ar[ur]:斜め右上矢印

\ar[dl]:斜め左下矢印

\ar[dr]:斜め右下矢印

\ar@{.>}[u]:上点々矢印

\ar@{}[u]:上向き空白矢印

これらのコマンドの右に「|f」などと書くと矢印の途中に「f」が挿入される

・例

\xymatrix{

A \ar[d]_{\varphi} \ar[r]^f \ar@{}[dr]|\circlearrowleft & B \ar[d]^{\psi} \

X \ar[r]^g & Y \}

f:id:reiSR:20161110221148j:plain

・参考

いろいろな矢印(Xy-pic)

2016-06-02

【技術】texコマンドメモ(随時更新)

その他

・\documentstyle{article}でタイトルを付けるときに上の無駄な余白を縮めたいとき

→\title{\vspace{-5cm}タイトル}

・取り消し線を使いたいとき

→プリアンブルに\usepackage{ulem}と書き,\sout{取り消し線を被せたい文(数式なら$$を最初と終わりに)}

・合同でない記号( $\displaystyle{\not\equiv}$ )を使いたいとき

→\not\equiv

・シグマ記号( $\displaystyle{\sum}$ )や積の記号( $\displaystyle{\prod}$ )の下に条件式を複数行書きたいとき

→\sum_{\substack{1行目 \\ 2行目 \\ 3行目}}

$\displaystyle{\sum_{\substack{1行目 \\ 2行目 \\ 3行目}}}$

・注意点

4-Dという順番が出てきたら避ける。_や^はエスケープする。align*環境は*をエスケープ。

2015-12-21

【高校物理を見つめ直す】　相対速度

高校

${\displaystyle 速度v_Aで運動する物体Aと速度v_Bで運動する物体Bがあるとき、物体Aに対する物体Bの相対速度v_{A\rightarrow B}は次の式で求められる }$

${\displaystyle v_{A\rightarrow B}=v_B-v_A }$

${\displaystyle これは物理の力学で出てくる式で参考書にはだいたい書いてある。A,Bが一直線上に運動しているなら「まあ、そうだろうなぁ」と思える。 }$

${\displaystyle しかし、そうじゃない状況(例えばA,Bが違う方向に運動している状況)を考えるとよく分からなくなってくる。なぜ速度ベクトルを引き算するのか？ }$

${\displaystyle ほとんどの参考書が説明を誤魔化していて、おそらく、高校物理の指導要領内ではちゃんとした根拠を得られない。 }$

${\displaystyle そもそも速度とは厳密には微分を使って定義されるのだから、微分を使って説明しよう。 }$

${\displaystyle そのために、速度と相対速度をちゃんと定義する。 }$

${\displaystyle まず、時刻tにおける位置がx(t)である物体の速度v(t)はv(t):=\frac{d}{dt}x(t)で定められる。 }$

${\displaystyle 次にAに対するBの相対速度だが、これは文字通りに解釈すれば、Aから見たときのBの速度。 }$

${\displaystyle 速度とは位置の単位時間の変化量のことだから、相対速度とはAから見たときのBの位置が単位時間にどれだけ変化したかということ。 }$

${\displaystyle Aの位置をx_A(t)、Bの位置をx_B(t)とすれば、Aから見たときのBの位置というのは、x_B(t)-x_A(t)である。 }$

${\displaystyle したがって、Aに対するBの相対速度v_{A\rightarrow B}(t)はv_{A\rightarrow B}(t):=\frac{d}{dt}(x_B(t)-x_A(t))と定められる。 }$

${\displaystyle 微分の線形性を利用すれば、\frac{d}{dt}(x_B(t)-x_A(t))=\frac{d}{dt}x_B(t)-\frac{d}{dt}x_A(t)=v_B(t)-v_A(t) }$

${\displaystyle したがって、v_{A\rightarrow B}(t)=v_B(t)-v_A(t)となる。つまり、数学的に相対速度の式が得られた。 }$

2015-10-31

高校数学参考書

高校

○数学Ⅰ＋A

・シグマ基本問題集数学Ⅰ＋A

シグマ基本問題集数学?＋A 新装版 (理解しやすいシリーズ)
作者: 文英堂編集部
出版社/メーカー: 文英堂
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新課程版はこっち↓

シグマ基本問題集数学I+A (基本問題集新課程版)
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・実力強化問題集数学Ⅰ＋A

実力強化問題集数学?＋A 新装版 (大学入試へステップアップ)
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同じく新課程版↓

実力強化問題集数学I+A 新課程版
作者: 文英堂編集部
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・本質の研究数学Ⅰ＋A

これがメイン参考書だった

本質の研究数学I・A―Lectures on mathematics
作者: 長岡亮介
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新課程版↓

総合的研究数学I+A (高校総合的研究)
作者: 長岡亮介
出版社/メーカー: 旺文社
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・本質の解法数学Ⅰ＋A（おそらく絶版）

チャートより解説詳しい。いや、チャートほとんど解いたことないけど

本質の解法数学I・A―Core & block
作者: 安光秀生,長岡亮介
出版社/メーカー: 旺文社
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・2度解く‼数と式、集合

整数問題とか結構あった気が、、、高3春に使った
2度解く!!数と式・集合と論理―短期完成 (大学入試過去問シリーズ数学 1)
作者: 旺文社
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・センター試験過去問演習

大学入試センター試験過去問演習数学1・A 2012 (東進ブックス)
作者: 河合正人
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○数学Ⅱ＋B

・本質の研究数学Ⅱ＋B

メイン参考書、分厚い

本質の研究数学II・B〈数列・ベクトル〉―Lectures on mathematics (New encounters with mathematics-Lectures on mathematics-)
作者: 長岡亮介
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新課程版↓

総合的研究数学II+B (高校総合的研究)
作者: 長岡亮介
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・極選50実践編

数学1+A+2+B極選50 実践編 (大学入試数学問題集)
作者: 長岡亮介
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・極選43発展編

数学1+A+2+B極選43 発展編 (大学入試数学問題集)
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・理系のための(ry

受験期に問題演習用に

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○数学Ⅲ＋C（新課程では数学Ⅲ）

・本質の研究数学Ⅲ＋C

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・極選25実践編

数学3C極選25 実践編 (大学入試数学問題集)
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・理系のための(ry

級数のパターン問題じゃないやつとか、行列の問題とか。まあ新課程は行列ないけど

理系のためのじっくり考えてたくさん解く本格問題集数学III+C
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2015-10-21

モルについて

高校

モル(mol)を使った問題を苦手とする人は一般的に多いので覚えている範囲で解説しようと思う。

①モルとは何か

まず、原子や分子というのはとても小さくその１つ１つはとても見えるものではない。

そのため、肉眼で見えるような大きさの物質はとてつもなく大きな数の原子や分子から出来ていて、その大きな数をそのまま扱うのは色々と(計算などで？)不都合だ。

そこで、ある程度の数をひとまとまりにしようということで考えられたのが物質量でその単位がmol(モル)である。

具体的には「原子(または分子)が6.0×10²³個ある」＝「その原子(または分子)は1molある」で、言ってみればモルとはある個数をひとまとまりにした呼び方のことである。

例を挙げてみると、

C原子が1molある

→C原子が6.0×10²³個ある

酸素が1molある

→酸素分子(つまりO_2をひとまとまりとしたもの)が6.0×10²³個ある

→O原子が12×10²³個ある

→O原子が2molある

ということである。

ちなみに、molというのは分子を表す英語moleculeから来てる。分子はいくつかの原子をひとまとまりにしたものだからmolの命名には納得いくと思う。

②モルと質量の関係

　モルは原子や分子の個数(のひとまとまり)のことだから、その数が増えれば当然質量が増える。

では一体どのような関係があるのか勿体ぶらずにいうと

（原子1molの質量）＝（原子量）g

（分子1molの質量）＝（分子量）g である。

ここで、なんで1molの質量がこうなるの？と思いたくなるかもしれないが、実はこれは当然のことなのである。

なぜかというと、もともと原子量というのは1molの炭素原子Cの質量を原子量12と定め、それを基準に定められているものだからだ。

例えば、炭素(C)2molの質量は12×2＝24g、酸素(O_2)3molの質量は32×3＝96gである。

また、逆に考えると、質量が(原子量)gの原子は1molで質量が(分子量)gの分子は1molということになる。

例えば、

4gの水素(H_2)は水素分子の分子量が2だから4÷2＝2mol

12gの炭素(C)は炭素の原子量が12だから1molである。

③モルの関わる計算問題

①と②の例の中でそれぞれmolと個数、molと質量の関係は具体的に見てきた。だから、問題文にmolが直接あるものはゆっくりやれば大丈夫なはずである。

しかし、テストの問題では個数と質量の関係が問われていて一見molなんて関係ないじゃんと思うようなものが出てくる。

「Fe原子1個の質量は何gか」とか「炭素3.0g中の炭素原子は何個か」とかそういうやつである。

化学初心者ならどうすればいいかわからず放棄してしまいそうな雰囲気である。

こういうものはどうすればいいか？

答えは「molを仲介役にして計算する」だ。

なぜmolを仲介するのか感覚的に分かってもらうために、今思いついた例を挙げてみようと思う。

あなたに仲良くなりたい異性がいたとしよう。しかし、その異性とは直接的な関わり合いはない。どうすればいいか？頑張ってアタックするのも一つの手ではあるが、大きいリスクを犯さない手段として、共通の友人を通じて、仲を取り持ってもらうというのがある。

こんな稚拙な例が理解の助けになるのかはわからないが、この仲介役の共通の友人がいわばmolである。

molの話に戻ろう。個数から質量を知りたいときは個数→mol→質量というふうに、質量から個数を知りたいときは質量→mol→個数というふうに、molを仲介し、2段階で計算するのである。

最後に例題で確認してみよう。

（１）Fe原子1個の質量は何gか？

Fe原子1個が何molなのかまず求める。

Fe原子6.0×10²³個で1molなのだから、Fe原子1個は1molの6.0×10²³分の1で

$\frac{1}{6.0×10^{23}}=\frac{1}{6.0}×\frac{1}{10^{23}}=\frac{1}{6}×10^{-23}mol$

それを質量に直すと、Fe原子1molが56gだから、

$\frac{1}{6}×10^{-23}×56=\frac{28}{3}×10^{-23}=9.33...×10^{-23}g$

（２）炭素3.0g中の炭素原子は何個か？

炭素原子の原子量は12だから、炭素12gで1mol

つまり、炭素3.0gは

$\frac{3.0}{12}=\frac{1}{4}mol$

それを個数に直すと、炭素原子1mol＝炭素原子6.0×10²³個だから、

$\frac{1}{4}×6.0×10^{23}=1.5×10^{23}$ 個

④最後に。。。

2時間くらいかけて書きましたがどうでしたでしょうか？お役に立てたでしょうか？

ちなみに、化学は専攻ではないのと習ってから5年経ってるので(細かい所で)誤りなどあるかもしれません。何かおかしい点などあったら教えてください。

追記(2016/02/29) この記事をテキスト読み上げしただけのクソみたいな動画はこちら↓

モルについて

レイの数学メモ

主に数学に関する記事