計算メモ1

・45,75とかの二乗

十の位×それに1足した数を百の位にして、下2桁を25

例えば 45×45=2025 75×75=5625

・5倍

2で割ってから小数点を右にずらす

例えば

168×5を計算するとき

2で割ると84、小数点を右にずらして840

387×5を計算するとき

2で割ると193.5、小数点を右にずらして1935

・1000,2500などのきりのいい数から何かを引く

○9…9から引いて、最後に1などを足す

例えば

1000-384は999-384をすると、615。1を足して616

2500-1796は2999-1796をすると、1203。 500を引いて、703。1を足して704

・98や1796などの数を引く

それに近いきりのいい数を引いてから、引きすぎた分を足す

例えば

1712-286はまず300を引いて、1412。14を足して1426

5143-1287はまず2000を引いて、3143。713を足して3856

logn/n

色んな場面で出てくるであろう極限

{\displaystyle
\lim_{n \to  \infty} \frac{\log n}{n}
}

の求め方について。

{\displaystyle
\frac{\log n}{n} = \log n^{\frac{1}{n}}
}

だから

{\displaystyle
n^{\frac{1}{n}}
}

について考える。

まず、これが1以上というのは明らか( {\displaystyle
n^{\frac{1}{n}} \ge 1^{\frac{1}{n}} = 1
} )だから

{\displaystyle
n^{\frac{1}{n}}=1+b_n
}

とおくと、

{\displaystyle
b_n \ge 0
}

両辺をn乗して

{\displaystyle
n=(1+b_n)^n\
}

右辺を二項展開して評価すると

{\displaystyle
(1+b_n)^n\
}

{\displaystyle
=1+ {}_n C_1 \cdot b_n + {}_n C_2 \cdot {b_n}^2 + \cdots +{b_n}^n\
}

{\displaystyle
\ge 1+ {}_n C_2 \cdot {b_n}^2\
}

{\displaystyle
= 1+ \frac{n(n-1)}{2}{b_n}^2\
}

よって、

{\displaystyle
n \ge 1+ \frac{n(n-1)}{2}{b_n}^2\
}

これを整理して

{\displaystyle
{b_n}^2 \le \frac{2}{n}  \to 0  (n \to \infty)\
}

ゆえに、

{\displaystyle
\lim_{n \to \infty} {b_n}^2 = 0\
}

{\displaystyle
\lim_{n \to \infty} b_n = 0\
}

したがって、

{\displaystyle
1 \le n^{\frac{1}{n}} = 1 + b_n \to 1\
}

となるから

{\displaystyle
\lim_{n \to \infty} n^{\frac{1}{n}} = 1\
}

以上から

{\displaystyle
\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0\
}

高校時代使ってた英単語帳

まずは学校で使ってたやつ↓

データベース4500 完成英単語・熟語

データベース4500 完成英単語・熟語

毎週火曜日に単語テストあったな。

次に高1の終わり辺りに買ったやつ↓

DUO 3.0

DUO 3.0

高2の時に授業の単語調べの辞書代わりとかで使ってた。

そして、著者繋がりで高3の春に買ったやつ↓

大学入試最難関大へのボキャブラリースーパー英単語・熟語2400

大学入試最難関大へのボキャブラリースーパー英単語・熟語2400

受験期はこっちメインにしてたかな

垂心について

三角形の五心(内心・外心・重心・垂心・傍心)の一つである垂心について

三角形の各頂点から下ろした垂線は一点で交わるという性質がある

この一点のことを垂心という

さて、3本の垂線は本当に一点で交わるのだろうか?

実際に作図してみると確かに一点で交わるということが分かる

しかし、だからと言って「一点で交わる」と言い張っても納得できない人は多いだろう

「ホントに全ての三角形でそう言えるの??」そう思う人がいるはず・・・

そこで登場するのが数学的な証明

うん、まあ証明する

どう証明するかを考え付くのは大変だが証明自体は全然難しくない

f:id:reiSR:20150703024529j:plain

△ABCを考えてAから垂線AD、Bから垂線BEを引き、ADとBEの交点をGとする

そして、CGの延長とABの交点をFとする

このとき、∠BFC=90°が分かれば3つの垂線は一点で交わることになる

 まず、∠CDG=∠CEG=90°であるから、円周角の定理の逆より、C,D,G,Fは同一円周上にある

  同様に、∠ADB=∠AEB=90°であるから、円周角の定理の逆より、A,B,D,Eは同一円周上にある

 

すると、四角形ABDEは円に内接しているから、ある角とその対角の外角は等しく

∠BAE∠CDE(←黄色の印の所)

また、弧GEに対する円周角は等しいから

∠EDG∠ECG(←緑色の印の所)

AD⊥BCより、∠CDE∠EDG=90°

以上より、∠BFC=∠BAE∠ECG∠CDE∠EDG=90°

したがって、垂心は一点で交わる(Q.E.D

分散について

分散の感覚的な説明なので厳密性を欠いていても悪しからず

70,80,70,80の平均は75だが、平均と各値の差の和は

(70-75)+(80-75)+(70-75)+(80-75)=0

一方、100,100,50,50の平均は75だが、平均と各値の差の和は

(100-75)+(100-75)+(50-75)+(50-75)=0

直感的にばらつきが多いのは後者だが、それを上手く反映できていない。

(70-75)2+(80-75)2+(70-75)2+(80-75)2=100

(100-75)2+(100-75)2+(50-75)2+(50-75)2=2500

例えば、70,80,70,80と70,70,70,80,80,80ではデータのばらつきは直感的に同じだが、平均と各値の差の2乗の和は

(70-75)2+(80-75)2+(70-75)2+(80-75)2=100

(70-75)2+(70-75)2+(70-75)2+(80-75)2+(80-75)2+(80-75)2=150

つまり、70,80,70,80の分散は

{\displaystyle
\frac{(70-75)^2+(80-75)^2+(70-75)^2+(80-75)^2}{4}=25
}

70,70,70,80,80,80の分散は

{\displaystyle
\frac{(70-75)^2+(70-75)^2+(70-75)^2+(80-75)^2+(80-75)^2+(80-75)^2}{6}=25
}

となり直感通りで等しくなる。

 簡潔に数式化すると、データが

{\displaystyle
a_1,a_2,\cdots,a_n
}

のときの分散σは平均をmとして

{\displaystyle
\sigma = \frac{(a_1-m)^2+(a_2-m)^2+\cdots+(a_n-m)^2}{n}
}

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