線形代数

線形代数のイントロダクションというか行列の導入に関して、思い付きで書いてみた

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実数係数方程式のペアになっている解

実数係数3次方程式などに虚数解があるとその複素共役も解になるというのは高校数学の問題で1度は目にしたと思う.

まずこれが何故そうなるのかを見ていく.

例えば, 方程式 x^3+x-1=0 を考え, これが虚数\alpha を持ったとすると, 次を満たす.

\alpha^3+\alpha-1=0

この等式の両辺で複素共役を取ると

\bar{\alpha}^3+\bar{\alpha}-1=0

となるから, 複素共役 \bar{\alpha} も方程式 x^3+x-1=0 の解になるというわけである.

ところで, 複素共役には次の性質があると習う.

\cdot\overline{\alpha+\beta}=\bar{\alpha}+\bar{\beta}
\quad\cdot\overline{\alpha\beta}=\bar{\alpha}\bar{\beta}

これは環準同型というものの一種になっている.

環準同型とは何か?というと, 次を満たす関数(普通は写像とよぶ) \sigma のことである.

\sigma(1)=1,\quad\sigma(x+y)=\sigma(x)+\sigma(y),\quad\sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)

関数 \tau複素数 \alpha に対し, \tau(\alpha)=\bar{\alpha} を満たすとする(これを複素共役写像とよぶ).

このとき, \tau環準同型であり,実数を代入したときの値は元の値と変わらない.

こういう関数で作ったペア \alpha,\tau(\alpha) は同じ実数係数方程式の解になっている.

このようなペアが出来るには複素共役の性質に赤で書かれたものがあるのがミソになっていて, そのような性質があれば複素共役以外でもペアの解が出てくる.

(ちなみに, 係数に実数ではないものがあるときは複素共役も解になるとは限らない.)

実は有理数平方根(-1) 倍する関数はその性質(環準同型であり, 有理数を代入しても変わらない)を持っている. ※ただし,その有理数は何かの2乗ではないとする.

例えば, \sqrt{5}-\sqrt{5} に写す関数 \rho である.

ここで, 関数の定義域は何かというと \sqrt{5}有理数の四則演算で得られる数(1+\sqrt{5}, \frac{2}{3-\sqrt{5}} など)全体である.

すると, 有理数係数方程式に 3+\sqrt{5} という解があれば, \rho(3+\sqrt{5})=3-\sqrt{5} も解である.

例えば, 方程式 x^4-6x^3+5x^2-6x+4=0 には 3+\sqrt{5} という解があるので, 3-\sqrt{5} も解であると分かる.

アニメ「ようこそ実力至上主義の教室へ」の考察や推測

無人島特別試験で龍園がAクラスと結んだ契約の契約書について

12話で出てきたように契約書は印刷されたものということが分かる。 f:id:reiSR:20171004161838p:plain

この契約内容はいつ決めたのか、大きく分けて2つになる。

1. 無人島に上陸し、試験の説明を受けたあと

この場合、印刷は必然的に上陸後になる。すると、どうやって印刷したのかとなるが、学校側は試験を運営するためにパソコンなどの電子機器類を用いている。この中にプリンタもあったと考えるのが妥当で、パソコンなどでデータを入力し印刷したのはCクラスの担任の坂上先生ではないだろうか。

2. 無人島上陸前

契約内容からして試験内容を把握してないとおかしい。とすると、試験内容を説明される前から龍園は把握していたということで、坂上先生が情報を流したのではないだろうか。

texで図式を書く

\xymatrixを使うと,図式が綺麗に書ける.

・セッティング

簡単LaTeXインストールWindows編(2016年4月版)でインストールした人には参考になると思う

\c:\w32tex\donload

にある xypic.tar を

\c:\w32tex\share\texmf-dist

で解凍して展開

・使い方

まず,\begin{document}の前に\usepackage[all]{xy}

書くときは

\xymatrix{ コマンド}

コマンドの形式はarray環境のようなもので&で区切る

まず,矢印の始点となる集合を配置

次に,各集合を始点とする矢印をその集合と同じ成分に書く

・具体的なコマンド

\ar[u]:上矢印

\ar[d]:下矢印

\ar[l]:左矢印

\ar[r]:右矢印

\ar[rr]:右矢印(2個分)

\ar[ul]:斜め左上矢印

\ar[ur]:斜め右上矢印

\ar[dl]:斜め左下矢印

\ar[dr]:斜め右下矢印

\ar@{.>}[u]:上点々矢印

\ar@{}[u]:上向き空白矢印

これらのコマンドの右に「|f」などと書くと矢印の途中に「f」が挿入される

・例

\xymatrix{

A \ar[d]_{\varphi} \ar[r]^f \ar@{}[dr]|\circlearrowleft & B \ar[d]^{\psi} \

X \ar[r]^g & Y \}

f:id:reiSR:20161110221148j:plain

・参考

いろいろな矢印(Xy-pic)

高校数学の2つの平均値

平均値は高校数学(新課程)で二度出てくる。数学Ⅰの「データの分析」における平均値、数学Bの「確率分布と統計的推定」における平均値である。

まず、それらの定義と例を書くと

【数学Ⅰにおける平均値】

変量 {\displaystyle x } の階級値 {\displaystyle x_1,\ldots,x_N } に対応する度数を {\displaystyle f_1,\ldots,f_N } とするとき, {\displaystyle x } の平均値 {\displaystyle \overline{x} } は次で定められる

{\displaystyle \overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^{N}x_if_i}{N}}

例えば,生徒50人に数学のテストを行ったときの得点が

20点→0人

30点→2人

40点→3人

50点→10人

60点→15人

70点→10人

80点→5人

90点→3人

100点→2人

のとき,

得点 {\displaystyle X } の平均 {\displaystyle \overline{X} }

{\displaystyle \overline{X}=\frac{20\times0+30\times2+40\times3+50\times10+60\times15+70\times10+80\times5+90\times3+100\times2}{50}=63 }

【数学Bにおける平均値】

(離散的な)確率変数 {\displaystyle x } の取りうる値 {\displaystyle x_1,\ldots,x_N } に対する確率を {\displaystyle p_1,\ldots,p_N } とするとき, {\displaystyle x } の平均値 {\displaystyle E(x) } は次で定められる

{\displaystyle E(x)=\sum_{i=1}^{N}x_ip_i }

例えば,1~4の数字が書かれているカードが入ってる袋から1枚をランダムに取り出すとき

1のカードが出る確率→{\displaystyle \frac{3}{25} }

2のカードが出る確率→{\displaystyle \frac{7}{50} }

3のカードが出る確率→{\displaystyle \frac{27}{50} }

4のカードが出る確率→{\displaystyle \frac{1}{5} }

なら,カードに書かれている数字 {\displaystyle X } の平均値 {\displaystyle E(X) }

{\displaystyle E(X)=1\times\frac{3}{25}+2\times\frac{7}{50}+3\times\frac{27}{50}+4\times\frac{1}{5}=2.82 }

この2つの平均値は見た目から違うものと捉えてしまいがちだが,本質は同じものである。

(準備中)

texコマンドメモ(随時更新)

・\documentstyle{article}でタイトルを付けるときに上の無駄な余白を縮めたいとき

→\title{\vspace{-5cm}タイトル}

・取り消し線を使いたいとき

→プリアンブルに\usepackage{ulem}と書き,\sout{取り消し線を被せたい文(数式なら$$を最初と終わりに)}

・合同でない記号(\displaystyle{\not\equiv})を使いたいとき

→\not\equiv

・シグマ記号(\displaystyle{\sum})や積の記号(\displaystyle{\prod})の下に条件式を複数行書きたいとき

→\sum_{\substack{1行目 \\ 2行目 \\ 3行目}}

\displaystyle{\sum_{\substack{1行目 \\ 2行目 \\ 3行目}}}