【高校数学】二次不等式

$$x^2-4x+3>0$$

のような二次不等式。グラフを使って解くことを教えられる。

つまり、 y=x^2-4x+3 のグラフは次のようになっていて、

二次関数

y=0 より上に二次関数があるような x の範囲を図から、 x<a または b<x と読み取る。

今の場合、 x^2-4x+3=0 の解が x=1,3 なので、 a=1,b=3 となり、二次不等式の解は x<1 または 3<x となる。

さて、ここで「なんでグラフを使わなければいけないのか？」という疑問を持つ人がいた。

これに対してはとりあえず、「グラフを使わなくても解ける」ということを言いたい。

(x-1)(x-3)>0

の形から始める。

(x-1)で割れて、x-3>0になればx>3となって解けたとなりそうだが、そうではない。

割るものが正か負かで不等号の向きは変わるし、0だったらそもそも割れない。

なので場合分けをすることになる。

(1)x>1のとき、

x-1>0なので不等号の向きは変わらず、x-3>0となる。つまり、x>3

この範囲はx>1という条件で制限されることはない。

(2)x<1のとき、

x-1<0なので不等号の向きが変わって、x-3<0となる。つまり、x<3

しかし、x<1という条件があるので、このx<3はx<1と範囲が制限される。

(3)x=1のとき、

x²-4x+3=1²-4･1+3=0となり、正にはならないので、この場合は元の不等式を満たさず、解とならない。

したがって、(1)~(3)からx<1またはx>3が二次不等式の解となる。

余談だが、かなり昔の高校生はこのように解いていたというのをどこかで見た覚えがある。

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【数学】よく考えると危うい三角関数

高校でも大学の理工系の1年次でも三角関数sin,cosは図形的に定義され、誤魔化されることが殆ど。

数学科以外ならあまり気にならないかもしれないが、図形的な誤魔化しをなくして厳密に定義しようとすると、ややこしい状況であることを知る。

また、三角関数に関する極限

$$\lim_{\theta\to0}\frac{\sin\theta}{\theta}=1$$

の証明で高校で教えられるものは循環論法であるという記事を見かけた人も多いだろう。

三角関数の厳密な定義として次が考えられる。

1、初期値ありの微分方程式の解の一意存在性を用いて定義

つまり、

$$y''+y=0,y'(0)=1,y(0)=0$$

の解で実数全体を定義域とする関数を

$$y=\sin x$$

と定める。

2、べき級数として定義

つまり、実数上で定義された収束半径 $\infty$ のべき級数

$$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}$$

として定める。

どちらも1年次の講義の前半で軽々と解説できる代物ではないので、とりあえずは図形的な定義で誤魔化しておいて、後から(興味ある人のみが)その定義を確認し直す、という形になる。

【数学】有理数と$n$ 進法の小数

《キーワード:有理数、循環小数、位数》

$r\in\mathbb{R}$ に対し、

『$r$が有理数であるためには$r$が有限小数もしくは循環小数であることが必要十分』

が成り立つ。一般に、 $n$ を正整数とするとき、

『$r$が有理数であるためには$r$は$n$進法で有限小数もしくは循環小数であることが必要十分』

これについて証明する。

十分性$(\Leftarrow)$ については $10$ 進法のときと同様に示せるので、略。

必要性$(\Rightarrow)$ が問題になるが、鍵となるのは位数の概念

$n,a\in\mathbb{Z}_{>0},\gcd(n,a)=1$ とするとき、 $$a+n\mathbb{Z}\in(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times$$ の位数 $$m=\mathrm{ord}(a+n\mathbb{Z})$$ は次を満たす最小の正整数 $$a^{m}\equiv1\bmod{n}$$

まず$r$ は有理数なので、整数 $a$ と正整数 $b$ を用いて、 $$r=\frac{a}{b},\gcd(a,b)=1$$ と書ける。

① $\gcd(n,b)=1$

$b=1$ なら、 $r$ は整数なので、小数部分は $0$ となり、有限小数。

それ以外を考える。

$$m=\mathrm{ord}(n+b\mathbb{Z})$$

とおくと、

$$n^{m}\equiv1\bmod{b}$$

だから、

$$n^{m}a\equiv a\bmod{b}$$

つまり、ある整数 $k$ が存在して、

$$n^{m}a-a=bk$$

と書けるから、

$$n^{m}\frac{a}{b}-\frac{a}{b}=k$$

したがって、 $r$ の $n$ 進法表示の小数第 $i$ 位と小数第 $(i+m)$ 位は一致するから、 $r$ は循環小数で循環節の長さは $m $。

② $\gcd(n,b)\neq1$

$$t=\max\{e\in\mathbb{N}\mid n\text{の素因数}p\text{が存在して}b\text{は}p\text{で最高で}e\text{回割りきれる}\}$$

とおくと、

$$\gcd(n,\frac{b}{\gcd(n^t,b)})=1$$

であり、

$$n^tr=\frac{n^ta}{b}=\frac{\frac{n^t}{\gcd(n^t,b)}a}{\frac{b}{\gcd(n^t,b)}}$$

となり、$n^tr$ は①から、$n$ 進法で有限小数または循環小数。

$r$ の $n$ 進法表示は $n^tr$ の表示から、$t$ 個分小数点を左にずらせばいいから、有限小数または循環小数。

例として、$r=\frac{7}{15}$ を考える。

$n=8$ のとき

$$8^2\equiv4\bmod{15},8^4\equiv1\bmod{15}$$

であるから、

$$\mathrm{ord}(8+15\mathbb{Z})=4$$

$$8^4\frac{7}{15}-\frac{7}{15}=\frac{4095\cdot7}{15}=273\cdot7=(3567)_8$$

よって、 $$r=(0.\dot{3}56\dot{7})_8$$

$n=12$ のとき

$3^1\mid15$

であるから、

$$12^1\cdot\frac{7}{15}=\frac{28}{5}$$

また、

$$12^2\equiv4\bmod{5},12^4\equiv1\bmod{5}$$

であるから、

$$\mathrm{ord}(12+5\mathbb{Z})=4$$

$$12^4\frac{28}{5}-\frac{28}{5}=\frac{20735\cdot28}{5}=4147\cdot28=(57244)_{12}$$

よって、 $$r=(5.\dot{7}24\dot{4})_{12}$$

※ $n$ 進法での小数表示を求めるだけなら、

\begin{align*} \frac{7}{15}\cdot8&=3+\frac{11}{15}\\ \frac{11}{15}\cdot8&=5+\frac{13}{15}\\ \frac{13}{15}\cdot8&=6+\frac{14}{15}\\ \frac{14}{15}\cdot8&=7+\frac{7}{15} \end{align*}

より、$r=(0.\dot{3}56\dot{7})_8$ とした方が楽

【数学・論理学】演繹定理

公理系と仮定 $P$ から命題 $Q$ の証明ができる(これを$P\vdash Q$ で表す)とき、「 $Q$ は $P$ の演繹である」「 $Q$ は $P$ から演繹可能である」という。

これについてエルブランによる次の演繹定理が成り立つ:

$P\vdash Q$ ならば、 $\vdash P\rightarrow Q$

証明は演繹の長さの帰納法でできる。

$P\vdash\lnot\lnot P$を例としてみていく。まずは証明図を書く。

\begin{align*} \text{公理}&:P\rightarrow(\lnot P\rightarrow P)\\ \text{仮定}&:P\\ \text{推論}&:\lnot P\rightarrow P\\ \text{公理}&:\lnot P\rightarrow\lnot P\lor P\\ \text{公理}&:(\lnot P\rightarrow\lnot P\lor P)\rightarrow[(\lnot P\rightarrow(\lnot P\lor P\rightarrow\lnot P))\rightarrow(\lnot P\rightarrow\lnot P)]\\ \text{推論}&:(\lnot P\rightarrow(\lnot P\lor P\rightarrow\lnot P))\rightarrow(\lnot P\rightarrow\lnot P)\\ \text{公理}&:\lnot P\rightarrow(\lnot P\lor P\rightarrow\lnot P)\\ \text{推論}&:\lnot P\rightarrow\lnot P\\ \text{公理}&:(\lnot P\rightarrow P)\rightarrow[(\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P]\\ \text{推論}&:(\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P\\ \text{推論}&:\lnot\lnot P \end{align*}

$\lnot\lnot P$ は 証明図で前にある $$\lnot P\rightarrow\lnot P$$ と $$(\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P$$ から推論された。前にあるから、

$$P\vdash\lnot P\rightarrow\lnot P,\;P\vdash(\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P$$

である。

$$P\rightarrow\color{red}{(\lnot P\rightarrow\lnot P)},\;P\rightarrow(\color{red}{(\lnot P\rightarrow\lnot P)}\rightarrow\color{blue}{\lnot\lnot P})$$

が証明できるなら、三段論法

$$(A\rightarrow\color{red}{B})\rightarrow[(A\rightarrow(\color{red}{B}\rightarrow\color{blue}{C}))\rightarrow(A\rightarrow\color{blue}{C})]$$

が公理にあるから、 $$P\rightarrow\color{blue}{\lnot\lnot P}$$ も証明できる。

$$P\rightarrow\color{red}{(\lnot P\rightarrow\lnot P)}$$ については、 $$\color{green}{\lnot P\rightarrow\lnot P}$$ が証明できるから、公理

$$\color{green}{A}\rightarrow(B\rightarrow\color{green}{A})$$

を使えば、証明できる。

$$P\rightarrow(\color{red}{(\lnot P\rightarrow\lnot P)}\rightarrow\color{blue}{\lnot\lnot P})$$ については、証明図をみると、 $$\lnot P\rightarrow P$$ と公理 $$(\lnot P\rightarrow P)\rightarrow( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)$$ から、 $$(\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P$$ が推論されている。 よって、同様に、 $$P\rightarrow(\lnot P\rightarrow P)$$ と $$P\rightarrow[(\lnot P\rightarrow P)\rightarrow( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)]$$ が証明できればよい。 前者は公理だから証明できて、後者は $P\rightarrow(\text{公理})$ の形だから、 公理 $$\color{green}{[(\lnot P\rightarrow P)\rightarrow( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)]}\rightarrow(P\rightarrow\color{green}{[(\lnot P\rightarrow P)\rightarrow( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)]})$$ を使えば、証明できる。

以上の準備をまとめると、 $$P\rightarrow\lnot\lnot P$$ の証明図は次のようになる。

\begin{align*} \text{公理}&:\lnot P\rightarrow\lnot P\lor P\\ \text{公理}&:(\lnot P\rightarrow\lnot P\lor P)\rightarrow[(\lnot P\rightarrow(\lnot P\lor P\rightarrow\lnot P))\rightarrow(\lnot P\rightarrow\lnot P)]\\ \text{推論}&:(\lnot P\rightarrow(\lnot P\lor P\rightarrow\lnot P))\rightarrow(\lnot P\rightarrow\lnot P)\\ \text{公理}&:\lnot P\rightarrow(\lnot P\lor P\rightarrow\lnot P)\\ \text{推論}&:\lnot P\rightarrow\lnot P\\ \text{公理}&:\color{green}{\lnot P\rightarrow\lnot P}\rightarrow(P\rightarrow\color{green}{\lnot P\rightarrow\lnot P})\\ \text{推論}&:P\rightarrow(\lnot P\rightarrow\lnot P)\cdots(1)\\ \text{公理}&:P\rightarrow(\lnot P\rightarrow P)\cdots(2)\\ \text{公理}&:(\lnot P\rightarrow P)\rightarrow( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)\cdots(3)\\ \text{公理}&:(P\rightarrow\color{red}{\lnot P\rightarrow P})\rightarrow[(P\rightarrow(\color{red}{(\lnot P\rightarrow P)}\rightarrow\color{blue}{((\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)}) )\rightarrow(P\rightarrow\color{blue}{( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)})]\cdots(4)\\ \text{推論(2)(4)}&:[(P\rightarrow(\color{red}{(\lnot P\rightarrow P)}\rightarrow\color{blue}{( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)}) )\rightarrow(P\rightarrow\color{blue}{( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)})]\cdots(5)\\ \text{公理}&:\color{green}{( (\lnot P\rightarrow P)\rightarrow( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P) )}\rightarrow[P\rightarrow\color{green}{( (\lnot P\rightarrow P)\rightarrow( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P) )}]\cdots(6)\\ \text{推論(3)(6)}&:P\rightarrow\color{green}{( (\lnot P\rightarrow P)\rightarrow( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P) )}\cdots(7)\\ \text{推論(5)(7)}&:P\rightarrow\color{blue}{( (\lnot P\rightarrow\lnot P)\rightarrow\lnot\lnot P)})\cdots(8)\\ \text{公理}&:(P\rightarrow\color{red}{(\lnot P\rightarrow\lnot P) })\rightarrow[(P\rightarrow(\color{red}{(\lnot P\rightarrow\lnot P)}\rightarrow\color{blue}{\lnot\lnot P}) )\rightarrow(P\rightarrow\color{blue}{\lnot\lnot P})]\cdots(9)\\ \text{推論(1)(9)}&:(P\rightarrow(\color{red}{(\lnot P\rightarrow\lnot P)}\rightarrow\color{blue}{\lnot\lnot P}) )\rightarrow(P\rightarrow\color{blue}{\lnot\lnot P})\cdots(10)\\ \text{推論(8)(10)}&:P\rightarrow\lnot\lnot P \end{align*}

【数学・論理学】$\lnot(P\lor Q)\vdash\lnot P\land\lnot Q$ の形式証明

ただの備忘録。命題論理のある体系での形式証明。 \begin{align*} \text{公理}&:P\rightarrow P\lor Q\\ \text{公理}&:\lnot(P\lor Q)\rightarrow(P\rightarrow\lnot(P\lor Q))\\ \text{仮定}&:\lnot(P\lor Q)\\ \text{2,3行からの推論}&:P\rightarrow\lnot(P\lor Q)\\ \text{公理}&:(P\rightarrow P\lor Q)\rightarrow( (P\rightarrow\lnot(P\lor Q) )\rightarrow\lnot P)\\ \text{1,5行からの推論}&:(P\rightarrow\lnot(P\lor Q) )\rightarrow\lnot P\\ \text{4,6行からの推論}&:\lnot P\\ \text{公理}&:Q\rightarrow P\lor Q\\ \text{公理}&:\lnot(P\lor Q)\rightarrow(Q\rightarrow\lnot(P\lor Q))\\ \text{3,9行からの推論}&:Q\rightarrow\lnot(P\lor Q)\\ \text{公理}&:(Q\rightarrow P\lor Q)\rightarrow( (Q\rightarrow\lnot(P\lor Q) )\rightarrow\lnot Q)\\ \text{8,11行からの推論}&:(Q\rightarrow\lnot(P\lor Q) )\rightarrow\lnot Q\\ \text{10,12行からの推論}&:\lnot Q\\ \text{公理}&:\lnot P\rightarrow(\lnot Q\rightarrow\lnot P\land\lnot Q)\\ \text{7,14行からの推論}&:\lnot Q\rightarrow\lnot P\land\lnot Q\\ \text{13,15行からの推論}&:\lnot P\land\lnot Q \end{align*}

【数学】$\Phi_n(x)$ の $\varphi(n)-1$ 次の係数

reisr.hatenablog.com の続きで、$G$の生成元の和を求めます。

皆の投稿 - 原始根の和が0,-1,1のいずれかになることの証明 - 数学博物館 すうじあむ のように包除原理を使って直接求めるのが上手い気がしますが、円分多項式の係数と結びつけたのでその方向で行きます。

まず、 $n(\in\mathbb{N})$ 位の円分多項式の係数を文字でおいて $$\Phi_n(x)=\sum_{i=0}^{\varphi(n)}a_n(i)x^i$$ とします。

$p$ を $n$ の素因数にならない素数とすると、

$$\Phi_{np}(x)=\frac{\Phi_n(x^ p)}{\Phi_n(x)}$$

が成立するので

$$\Phi_n(x)\Phi_{np}(x)=\Phi_n(x^p)$$

が得られます。

両辺の $x^{p\varphi(n)-1}$ の係数(最高次より $1$ 小さい次数の係数)を比較すると

$$a_n(\varphi(n)-1)a_{np}(\varphi(np))+a_n(\varphi(n))a_{np}(\varphi(np)-1)=0$$

です。ここで、円分多項式はモニックより

$$a_n(\varphi(n))=a_{np}(\varphi(np))=1$$

なので、漸化式

$$a_{np}(\varphi(np)-1)=-a_n(\varphi(n)-1)$$

が成立します。

$n$ が相異なる素数の積 $n=p_1p_2\cdots p_r$ とすると、この漸化式から

$$a_n(\varphi(n)-1)=-a_{np_1^{-1}}(\varphi(np_1^{-1})-1)$$ $$=(-1)^2a_{np_1^{-1}p_2^{-1}}(\varphi(np_1^{-1}p_2^{-1})-1)$$ $$=\cdots=(-1)^{r-1}a_p(\varphi(p)-1)=(-1)^{r-1}=-\mu(n)$$

(ただし、 $\mu(n)$ はメビウス関数) したがって、

$$(G\text{の生成元の和 })=-(\Phi_{q-1}(x)\text{の}\varphi(q-1)-1\text{次の係数})=\mu(q-1)$$