【数学】微分不等式

《キーワード:微分不等式、微分方程式、グロンウォールの不等式》

微分方程式はよく聞くが、微分不等式というのは滅多に聞かない。

1年前くらいにとあるフォロワーに次の証明の質問をされたのだが、微分方程式などは門外漢のため初めて見る概念だった。

$$y'(x)\le a(x)y(x)+b(x)\quad(p\le x\le q)$$

$$\Rightarrow y(x)\le y(p)\exp\left(\int_{p}^{x}a(t)\;dt\right)+\int_{p}^{x}b(t)\exp\left(\int_{t}^{x}a(s)\;ds\right)dt\quad(p\le x\le q)$$

微分方程式から考えるといいのでは?とアドバイスだけして保留せざるを得なかったのだが、試行錯誤の果てに説明ほとんどなしで次のまとめにあるような連ツイをしている。

togetter.com

説明が雑すぎるので、ブログで改めて解説しようと思い、まとめを見ながら考えていたが、同次形に帰着させた後の議論に関しては時間が経ちすぎていて詳細がよく分からない。

というか、よくよく考えると1年前の連ツイでは結論を証明できてない。

そんなわけで違う方針でやることに。

で、思い付いたのが

$$D(x)=y'(x)-(a(x)y(x)+b(x))$$

と置いちゃえ、と。

そうすると、なんと

$$y'(x)=a(x)y(x)+(b(x)+D(x))$$

という微分方程式が誕生します。(???)

少し腑に落ちないような気もするが、微分不等式が微分方程式に帰着。

一階線形微分方程式なのでもう楽勝ですね。

教科書かネットから一般解の公式を引っぱってくる(例えば、 1階線形微分方程式 | 高校物理の備忘録 )か、自分で導くかすれば $y(x)$ の形が明らかに。

一応、書いておくと、 $Y'(x)=A(x)Y(x)+B(x)$ の一般解は

$$Y(x)=Y(p)\exp\left(\int_{p}^{x}A(t)\;dt\right)+\int_{p}^{x}B(t)\exp\left(\int_{t}^{x}A(s)\;ds\right)dt$$

微分を考えるときはこっちの形のがいいかも。

$$Y(x)=\left(Y(p)+\int_{p}^{x}B(t)\exp\left(-\int_{p}^{t}A(s)\;ds\right)dt\right)\exp\left(\int_{p}^{x}A(t)\;dt\right)$$

不定積分の形

$$Y(x)=\left(C+\int B(x)\exp\left(-\int A(x)\;dx\right)dx\right)\exp\left(\int A(x)\;dx\right)$$

か公式としてよく出ているだろうが、それを積分区間を明示するには積分区間の下端を定数、上端を元の積分変数にして、被積分関数の変数を別の変数に変えてその変数による積分に直してから、積分定数を調整すればいい。(最初から導いた方が早そう)

例えば、$\int A(x)\;dx$ を $\int_{p}^{x}A(t)\;dt$ に変える。

微分不等式だから特別なことをするのかと思いきや、案外、あっけなく終わりました。

詳細も画像1枚に収まる分量。

f:id:reiSR:20200113052005p:plain
微分不等式詳細

一応、PDFのリンクも貼っておく。

drive.google.com

さて、微分不等式という名前があるのか検索したところ、グロンウォールの不等式(Gronwall's inequality)というのがヒット。

グロンウォールという名前は微分方程式の講義で聞いた記憶がある。

ja.m.wikipedia.org

中身を見てみると、………!!!?

$$u'(t)\le\beta(t) u(t)$$

ならば、対応する微分方程式

$$y'(t)=\beta(t) y(t)$$

の解によって、 $u(t)$ は上から評価できる。

まさにこれでした。

某フォロワーさん、Wikipedia見ていればもう少しちゃんと対応できました。。ごめんなさい。m(。_。)m

【高校数学】区分求積法

《キーワード:総和、極限、区分求積法、平均値の定理

twitter で次の問題を見かけた。

これは平均値の定理を使うと計算が簡単になる。

takuma on Twitter: "平均値の定理ですね。 1/2log2020=log2+1/2(log5+log101) でしょうか?… "

ちなみに、平均値の定理とは

区間 $[a,b]$ で連続で、開区間 $(a,b)$ で微分可能な関数を $f(x)$ とするとき、$(a,b)$ のある点 $c$ に対し、

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$$

が成り立つというものだ。

さて、元の問題は次のように一般化できる。

$r>0,\;g(x)$ に対し,

$$\lim_{x \to 0}xg'(x)=0$$

$$g''(x)<0(0<x<r)$$

なら,

$$\begin{align} \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{2n}(-1)^kg\left(\frac{kr}{2n}\right)=\frac{g(r)-g(0)}{2} \end{align}$$

この $g(x)$ として、$\log(1+x)$ を選び、$r=2019$ とおくと、元の問題に対応する。

証明を書いたPDFファイルは次のリンクから参照できる。

drive.google.com

【高校数学】必要条件と十分条件

必要条件(necessary condition)と十分条件(sufficient condition)というものがある。

$x$ ­に関する条件*1を $p,q$ ­⠀として、

$$p\Rightarrow q$$

が真のとき( $x$ ­が $p$ ­を満たすときは必ず $q$ ­も満たすとき)に定まる用語だ。

習い始めのときは特にどっちがどっちか分からなくなる。

今の場合は $p$ ­は $q$ ­であるための十分条件 であり、 $q$ ­は $p$ ­であるための「必要条件」 である。

  • 次のような図にまとめてもいいかもしれない。

十分条件 ­$\Rightarrow$ ⠀必要条件…①

①は十分条件の方から見ると自分から離れるように矢印が伸びていて、相手に何かを押し返して「いらない!もう"十分"だ!」と言っているシーンに見えなくもない。

必要条件の方から見れば自分に近づくように矢印が伸びていて、手を伸ばして「ちょうだい!それ、"必要"なの!」と言っているシーンに見えなくもない。

高校生時代に、クラスメイトが塾の先生からこの覚え方を教えてもらったのを聞いて知ったものだ。

ウマイこと考えるものだなあと思いながらも、当時の印象は強く、今でも現に覚えている。

  • さて、$p\Rightarrow q$ ­⠀ …② は真理集合を考えると、包含関係になる。

真理集合というのは条件を満たすような $x$ ­⠀を全部集めて作った集合のことだ。

例えば、「 $x$ ­は $3$ ­の倍数である」という条件の真理集合は

$$\{0,\pm3,\pm6,\pm12,\ldots\}$$

である。

$P,Q\;$ ­­をそれぞれ $p,q\;$ ­ の真理集合とすると、$x\in P$ ­ ­⠀は「 $x$ は $p$ ­を満たす」ということで、$x\in Q$ ­⠀は­「 $x$ は $q$ ­を満たす」ということだから、②は 「 $x\in P$ ­⠀ならば $x\in Q$ ­⠀」となる。つまり、

$$P\subset Q$$

という包含関係(…③)になる。

$p$ ­は( $q$ ­であるための)"十分条件"で、それに対応する $P$ ­が $Q$ ­に含まれているから、③のことを次のような図で覚えてそこから②を思い出すというやり方があるらしい*2

f:id:reiSR:20190902232427j:plain
タヌキのおへそ

そして、これをタヌキのおへそに例えていた。

  • どっちが必要条件かの覚え方を2つ紹介した。

しかしながら、なんで必要条件なんだろう?という疑問は残る。

その疑問のもと、なるべく理屈で納得できるような説明を当時考えたので、それ*3を紹介したいと思う。

まず、$p\Rightarrow q$ ­⠀ ­⠀の対偶は $\bar{q}\Rightarrow\bar{p}$ ­⠀ ­⠀である。

つまり、$q$ ­が成り立たなければ、絶対に $p$ ­は成り立たない。

これを言い換えれば、$p$ ­が成り立つためには $q$ ­が成り立つことが「必要」。

ここから、$q$ は $p$ ­であるための「必要条件」と言うのではないか?

また、 $p$ が成り立つとき $q$ が成り立つが、$p$ ではない他の $r$ が成り立つときに $q$ は成り立つかもしれない。

前提条件は色々あるし、$p$ が必要とは限らないが、$q$ が成り立つためには $p$ が成り立つことが分かっていれば事足りる、十分だ。

つまり、$p$ は $q$ ­であるための「十分条件」と言うのではないか?

*1:$x$ に具体的な数値を代入すると命題になるもの、つまり、真偽が定まるもの

*2:習ったときの教師がこの覚え方を推奨していた

*3:かなり前のことなので、細部までは覚えていない

【高校数学】和積公式

和積公式というものがある。

sin+sin、cos+cosの2種類あって、次のようになっている。

$$\begin{cases}\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\\ \cos\alpha+\cos\beta=2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}\end{cases}$$

さて、この公式は「どういう形の公式か?」(=sin,cosの和を積に変換する)ということさえ覚えていけば、暗記しなくても困らないものだ。

なぜなら、加法定理の式を足し引きすればすぐに出てくる公式だから。

減らせるなら暗記は減らした方がいい。だって、完璧に暗記するのは大変だから。

ということでまずは加法定理を書いてみよう。

\[\sin(A+B)=\sin A\cos B+\cos A\sin B\cdots(1)\]

\[\sin(A-B)=\sin A\cos B-\cos A\sin B\cdots(2)\]

\[\cos(A+B)=\cos A\cos B-\sin A\sin B\cdots(3)\]

\[\cos(A-B)=\cos A\cos B+\sin A\sin B\cdots(4)\]

ちなみに、 $A-B$ ­⠀の方は $A+B$ ­⠀の場合の等式の $B$ のところを $-B$ に換えて、

\[\sin(-B)=-\sin B,\;\cos(-B)=\cos B\]

という関係を使えば、$A+B$ ­⠀の場合だけを覚えていればすぐに分かる。

和積公式はsin+sinやcos+cosだから「加法定理の左辺」*1に注目する。(1)に(2)を足せば

\[\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A\cos B\]

となり、(3)に(4)を足せば

\[\cos(A+B)+\cos(A-B)=2\cos A\cos B\]

となる。

あとは、

\[\alpha=A+B,\beta=A-B\]

となるようなA,Bを見つければ和積公式となる。

つまり、("A,Bに関する"連立方程式を解いて)

\[A=\frac{\alpha+\beta}{2},B=\frac{\alpha-\beta}{2}\]

とすればよい。

具体例として、 $\cos7x+\cos x$ ­⠀ ­⠀を考えよう。まず、

\[A+B=7x,\;A-B=x\]

となるようにA,Bを決めるが、これは

\[A=\frac{7x+x}{2}=4x,\;B=\frac{7x-x}{2}=3x\]

と分かる。そこで、

$$7x=4x+3x,\;x=4x-3x$$

とみて、加法定理を使うと、

\[\cos7x=\cos4x\cos3x-\sin4x\sin3x,\\ \cos x=\cos4x\cos3x+\sin4x\sin3x\]

この等式を足せば、

\[\cos7x+\cos x=2\cos4x\cos3x\]

となって、"和積"終わり。

*1:積和公式のときは右辺に注目することになる

【数学】相加平均・相乗平均

以下のツイートの解説

$n$ 月の売上を $a(n)$ 、前月比伸び率を $k(n)$ %とすると、

$$\frac{a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}=\frac{k(n)}{100}$$

となる。これを変形すると、

$$a(n)=(1+\frac{k(n)}{100})a(n-1)$$

だから、

$$a(8)=(1+\frac{k(4)}{100})(1+\frac{k(5)}{100})(1+\frac{k(6)}{100})(1+\frac{k(7)}{100})(1+\frac{k(8)}{100})a(3)\ldots(1)$$

一方、平均伸び率を $k$ %とすると、

$$\frac{a(n)-a(n-1)}{a(n-1)}=\frac{k}{100}$$

となる。これを変形すると、

$$a(n)=(1+\frac{k}{100})a(n-1)$$

だから、

$$a(8)=(1+\frac{k}{100})^5a(3)\ldots(2)$$

となり、(1)(2)から、

$$(1+\frac{k}{100})^5a(3)=(1+\frac{k(4)}{100})(1+\frac{k(5)}{100})(1+\frac{k(6)}{100})(1+\frac{k(7)}{100})(1+\frac{k(8)}{100})a(3)$$

よって*1

$$1+\frac{k}{100}=\sqrt[5]{(1+\frac{k(4)}{100})(1+\frac{k(5)}{100})(1+\frac{k(6)}{100})(1+\frac{k(7)}{100})(1+\frac{k(8)}{100})}$$

相乗平均≤相加平均*2より、

$$\le\frac{(1+\frac{k(4)}{100})+(1+\frac{k(5)}{100})+(1+\frac{k(6)}{100})+(1+\frac{k(7)}{100})+(1+\frac{k(8)}{100})}{5}$$

$$=1+\frac{\frac{k(4)}{100}+\frac{k(5)}{100}+\frac{k(6)}{100}+\frac{k(7)}{100}+\frac{k(8)}{100}}{5}$$

したがって、

$$\frac{k}{100}\le\frac{\frac{k(4)}{100}+\frac{k(5)}{100}+\frac{k(6)}{100}+\frac{k(7)}{100}+\frac{k(8)}{100}}{5}$$

となり、両辺に $100$ を掛ければ

$$k\le\frac{k(4)+k(5)+k(6)+k(7)+k(8)}{5}$$

つまり、単純に伸び率を平均して求めた方が大きい。

*1:厳密にはa(3)≠0というか前月比伸び率は有限値を最初に断らないとだめ

*2:a(n)≥0だから、1+k(n)/100≥0

【高校数学】二次不等式

$$x^2-4x+3>0$$

のような二次不等式。グラフを使って解くことを教えられる。

つまり、 y=x^2-4x+3 のグラフは次のようになっていて、

f:id:reiSR:20190625171027j:plain
二次関数

y=0 より上に二次関数があるような x の範囲を図から、 x<a または b<x と読み取る。

今の場合、 x^2-4x+3=0 の解が x=1,3 なので、 a=1,b=3 となり、二次不等式の解は x<1 または 3<x となる。

さて、ここで「なんでグラフを使わなければいけないのか?」という疑問を持つ人がいた。

これに対してはとりあえず、「グラフを使わなくても解ける」ということを言いたい。

(x-1)(x-3)>0

の形から始める。

(x-1)で割れて、x-3>0になればx>3となって解けたとなりそうだが、そうではない。

割るものが正か負かで不等号の向きは変わるし、0だったらそもそも割れない。

なので場合分けをすることになる。

(1)x>1のとき、

x-1>0なので不等号の向きは変わらず、x-3>0となる。つまり、x>3

この範囲はx>1という条件で制限されることはない。

(2)x<1のとき、

x-1<0なので不等号の向きが変わって、x-3<0となる。つまり、x<3

しかし、x<1という条件があるので、このx<3はx<1と範囲が制限される。

(3)x=1のとき、

x2-4x+3=12-4・1+3=0となり、正にはならないので、この場合は元の不等式を満たさず、解とならない。

したがって、(1)~(3)からx<1またはx>3が二次不等式の解となる。

余談だが、かなり昔の高校生はこのように解いていたというのをどこかで見た覚えがある。

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f:id:reiSR:20190101232422j:plain
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f:id:reiSR:20190101232904j:plain
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