$\Phi_n(x)$ の $\varphi(n)-1$ 次の係数

reisr.hatenablog.com の続きで、$G$の生成元の和を求めます。

皆の投稿 - 原始根の和が0,-1,1のいずれかになることの証明 - 数学博物館 すうじあむ のように包除原理を使って直接求めるのが上手い気がしますが、円分多項式の係数と結びつけたのでその方向で行きます。

まず、 $n(\in\mathbb{N})$ 位の円分多項式の係数を文字でおいて $$\Phi_n(x)=\sum_{i=0}^{\varphi(n)}a_n(i)x^i$$ とします。

$p$ を $n$ の素因数にならない素数とすると、

$$\Phi_{np}(x)=\frac{\Phi_n(x^ p)}{\Phi_n(x)}$$

が成立するので

$$\Phi_n(x)\Phi_{np}(x)=\Phi_n(x^p)$$

が得られます。

両辺の $x^{p\varphi(n)-1}$ の係数(最高次より $1$ 小さい次数の係数)を比較すると

$$a_n(\varphi(n)-1)a_{np}(\varphi(np))+a_n(\varphi(n))a_{np}(\varphi(np)-1)=0$$

です。ここで、円分多項式はモニックより

$$a_n(\varphi(n))=a_{np}(\varphi(np))=1$$

なので、漸化式

$$a_{np}(\varphi(np)-1)=-a_n(\varphi(n)-1)$$

が成立します。

$n$ が相異なる素数の積 $n=p_1p_2\cdots p_r$ とすると、この漸化式から

$$a_n(\varphi(n)-1)=-a_{np_1^{-1}}(\varphi(np_1^{-1})-1)$$ $$=(-1)^2a_{np_1^{-1}p_2^{-1}}(\varphi(np_1^{-1}p_2^{-1})-1)$$ $$=\cdots=(-1)^{r-1}a_p(\varphi(p)-1)=(-1)^{r-1}=-\mu(n)$$

(ただし、 $\mu(n)$ はメビウス関数) したがって、

$$(G\text{の生成元の和 })=-(\Phi_{q-1}(x)\text{の}\varphi(q-1)-1\text{次の係数})=\mu(q-1)$$

有限体の乗法群と円分多項式の係数

$F_q$を位数$q$の有限体とします。$F_q$の標数を$p$とすれば、ある自然数$f$に対して、 $$q=p^f$$ を満たします。

$G$を$F_q$の乗法群(乗法逆元を持つような元全体からなる群)とすると、$G$の位数は$q-1$になります。

この辺のことは代数学の教科書見れば載っているよく知られた事実です。

$G$の生成元を $$a_1,\dots,a_{\varphi(q-1)}$$ ($\varphi$はオイラー関数)とすると、それらは位数がちょうど$q-1$であるような$F_q$の元なので、$F_q$係数の多項式として $$\prod_{i=1}^{\varphi(q-1)}(x-a_i)=\Phi_{q-1}(x)$$ ($\Phi_n(x)$は$n$位の円分多項式)が成り立ちます。

すると、係数を比較することにより、 $$(G\text{の生成元の和})=-(\Phi_{q-1}(x)\text{の}x^{\varphi(q-1)-1}\text{の係数})$$ が分かります。

ここで、$q-1$が素数の平方で割れる、すなわち、ある素数$l$と自然数$n$に対して、$q-1=l^2n$が成り立つとすると、 $$\Phi_{q-1}(x)=\Phi_{ln}(x^l)$$ となるので(これも円分多項式について載っている代数学の教科書にほぼ載っている)、$\Phi_{q-1}(x)$の$x^{\varphi(q-1)-1}$の係数は$0$になるしかありません。 したがって、この場合$G$の生成元の和は$0$です。

【その他】(アマチュアの)研究に役立ちそうなもの

テキストに載ってない(≒広くは知られていないもしくは知られていない)ような細かいことを知りたいときに使えそうなサイト候補

Google scholar

scholar.google.co.jphttps://scholar.google.co.jp/

論文とか検索できるGoogle検索エンジン。数学科の大学院だとMathSciNetを論文検索手段として教えられるが、ログインしないと使えない。Google scholarは(少なくとも)検索は誰でもできる

まあ、他の説明はWikipediaかなんかを参照して下さい

ja.m.wikipedia.orghttps://ja.m.wikipedia.org/wiki/Google_Scholar

Math stack exchange

math.stackexchange.com

プロ(?)が質問に答えてくれるらしい数学質問サイト。自分が知りたい些細なことに近いことが載ってることもあるからGoogle scholarでヒットしなかったらこっちで質問するのもアリ。英語だけど

【技術】\[tex:とか使わずにtexコマンドで数式かけるように

フッターにhtmlという名の呪文を挿入して, texコマンドで数式書けるようにしてみた

参考にしたのは

stronger.hatenablog.com

1つ留意すべきなのはそれだけではダメで, 一部を差し替えなければいけないこと

www.mathjax.org

お分かりだろうか?

ちなみに、インラインモードだと$で囲むのはいいけど、\(で囲むのはなんかダメっぽい

ディスプレイ表示は$$も\[もどちらもいけるっぽい

ピタゴラス数

ふと、 mizumiya-umi.hatenablog.comを読んで数時間考えてたら、予想が証明できてしまったので、載せます。

$a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{Z}\setminus{0}$

$$a_1^2+b_1^2=c_1^2, a_2^2+b_2^2=c_2^2$$

を満たすものとする.ただし, $2\mid b_1,b_2$

となるように取る.

$$D_1=a_1a_2+b_1b_2,D_2=a_1b_2-a_2b_1$$

とおく.

ピタゴラス数の性質より,

$$\begin{cases} a_1=a_1'^2-b_1'^2,\\ b_1=2a_1'b_1' \end{cases},\quad \begin{cases} a_2=a_2'^2-b_2'^2,\\ b_2=2a_2'b_2' \end{cases}$$

を満たす $a_1',a_2',b_1',b_2'\in\mathbb{Z}$

が取れるから,

$$D_1+D_2i=(a_1-b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1'-b_1'i)^2(a_2'+b_2'i)^2$$

となり, $x,y\in\mathbb{Z}$

$$x^2-y^2=D_1, 2xy=D_2$$

を満たすものが存在する.

よって,

$$\begin{cases} -D_2^2+4x^4=4x^4-4x^2y^2=4D_1x^2,\\ D_2^2-y^4=4x^2y^2-y^4=4D_1y^2 \end{cases}$$

$$\therefore x^2=\frac{D_1\pm\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}, y^2=\frac{-D_1\pm\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}$$

ここで,

$$2x^2-D_1=x^2+y^2, 2y^2+D_1=x^2+y^2$$

であるから, 根号の前は正符号であり,

$$x^2=\frac{D_1+\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}, y^2=\frac{-D_1+\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}$$

となる.

一方, $c_1^2c_2^2=(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)=D_1^2+D_2^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2$

より, $c_1c_2=x^2+y^2$

であるから,

$$\frac{a_1a_2+b_1b_2-c_1c_2}{2}=\frac{D_1-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(x^2-y^2)-(x^2+y^2)}{2}=-y^2$$

したがって,

\begin{align*} \left(\frac{a_1+a_2}{2}\right)^2+\left(\frac{b_1+b_2}{2}\right)^2+y^2 &=\frac{a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2+2a_1a_2+2b_1b_2}{4}+\frac{-a_1a_2-b_1b_2+c_1c_2}{2}\\ &=\frac{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2}{4}\\ &=\left(\frac{c_1+c_2}{2}\right)^2 \end{align*}

【書評】数学の本

持っている本やおすすめの本について。大半は専門書というより読み物。ただし、ここにある本を完全に理解しているわけでもないので誤った説明もあるかもしれない。

数学ガール/フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理を扱っている物語で最初に読んだのは高校生の頃。最後の方でフェルマーの最終定理がどう示されたかを命題の間の論理関係に落とし込んで説明していて、感心させられた。論理関係に落とし込むとはどういうことかもう少し説明すると、「フェルマーの最終定理が成り立たないとこういう曲線ができるけど、そういう曲線は存在しないことが知られている。だから、フェルマーの最終定理が成り立つ」というようなことが書かれている。

数学ガール/ガロア理論

5次以上の方程式には解の公式が存在しない、ということは数学に興味ある人ならどこかで聞いたことがあるはず。これを示すためにはガロア理論というものが応用される。ガロア理論には群、体(たい)という高校では聞かない概念が使われていて、普通の高校生には敷居が高いように思える。その群というものを公理をただ持ち出して抽象的に説明するのではなくアミダクジという馴染みやすい例を用いて説明しているため、高校生にもおすすめできる。また、ガロア理論を数学書で学んだが、数学書によくある公理→定理→証明の連続のために分かったという気になれない人にも、具体的に見てみることで何かの助けになるかもしれない。

プロの数学 ―大学数学への入門コース

大学数学とはどんなものなのかを知りたい人に一読を勧めたい。

数学まなびはじめ〈第1集〉

数学の研究を将来の一候補にしている人や数学の道を続けようか迷っている人に勧めたい。数学者が若いとき(学生時代など)に経験したエピソードや何を考えていたかなどを少し知ることができる。

ガロアとガロア理論 (MATH+)

ガロアの伝記が第一部で、ガロア理論に続く現代数学の流れの概説が第二部になっている。ガロアについて知りたい人やガロア理論を超えた先に何があるのが知りたい人に勧めたい。

フェルマーの最終定理・佐藤‐テイト予想解決への道 (類体論と非可換類体論 1)

フェルマーは奇素数$p$について

\[p\textbf{が平方数の二つの和で表せる}\Leftrightarrow p\equiv1\bmod{4}\]

が成り立つことを発見した。この定理を含む理論に類体論というものがあり、その先に非可換類体論というものがある。これらのことはフェルマーの最終定理や佐藤テイト予想というものと深く関連している。その流れを概説する本であり、数論に興味ある人に勧めたい。

日本語から記号論理へ

東大出版の数学の基礎(集合・数・位相)の記号論理のところより断然分かりやすかった。それはこちらは啓蒙書の部類だから当然といえば当然なのだが。分かりやすい理由としてはタイトルにもあるように普段使う日本語の論理から入って適宜記号論理の言葉の類似を使って説明したあとに、数学の記号論理へと入っていく橋渡し的な構成がされているから、と思う。数学科入ってεδ悩んでいる人に一読を薦めたい。

抽象代数の歴史

群、環、体などの(抽象)代数学の初歩を学び終えた頃に代数学って何なのだろうと思い、図書室で借りて、興味を惹いたところだけ読んだ本。代数学を学んでいくうちに、その起源を知りたくなったら読んでみては如何?

探検! 数の密林・数論の迷宮

最近知って、色々と衝撃を受けた本。自分の理解って浅いんだなぁと改めて思い知らされてしまった。内容を1つだけ取り上げると、(-1)×(-1)=1について、環論学んだ人がやりがちな証明は証明じゃないと言っていて、一読の価値がある。代数の初歩は一通り学んで数論をやろうかなって人も読んでみるといい。証明はまともに読まずに流れだけをざっと読むだけでも得られるものはあると思う。

多項式のある漸化式

漸化式

f_{n+2}(x)=xf_{n+1}(x)-f_n(x)

はなかなか面白いかもしれません。

f_1(x)=x,f_2(x)=x^2-2 とすると、

t^{n}+t^{-n}=f_n(t+t^{-1})

を満たす多項式 f_n(x) が得られ、また

f_1(x)=x,f_2(x)=x^2-1 とすると、

2\cos\frac{k\pi}{n+1}\;(k=1,\cdots,n)

を根に持つ多項式 f_n(x) が得られます。

前者は f_0(x)=2,f_1(x)=x

後者は f_0(x)=1,f_1(x)=x

を初項としたときに漸化式から得られる多項式とも考えられるので、f_0(x)を他の自然数(もしくは整数)に変えると他にも面白い多項式が生成できるかもしれません。

興味があれば試してみてはいかが?