\[tex:とか使わずにtexコマンドで数式かけるように

フッターに呪文という名のhtmlを挿入して, texコマンドで数式書けるようにしてみた

参考にしたのは

stronger.hatenablog.com

1つ留意すべきなのはそれだけではダメで, 一部を差し替えなければいけないこと

www.mathjax.org

お分かりだろうか?

ちなみに、インラインモードだと$で囲むのはいいけど、\(で囲むのはなんかダメっぽい

ディスプレイ表示は$$も\[もどちらもいけるっぽい

ピタゴラス数

ふと、 mizumiya-umi.hatenablog.comを読んで数時間考えてたら、予想が証明できてしまったので、載せます。

$a_1,a_2,b_1,b_2,c_1,c_2\in\mathbb{Z}\setminus{0}$

$$a_1^2+b_1^2=c_1^2, a_2^2+b_2^2=c_2^2$$

を満たすものとする.ただし, $2\mid b_1,b_2$

となるように取る.

$$D_1=a_1a_2+b_1b_2,D_2=a_1b_2-a_2b_1$$

とおく.

ピタゴラス数の性質より,

$$\begin{cases} a_1=a_1'^2-b_1'^2,\\ b_1=2a_1'b_1' \end{cases},\quad \begin{cases} a_2=a_2'^2-b_2'^2,\\ b_2=2a_2'b_2' \end{cases}$$

を満たす $a_1',a_2',b_1',b_2'\in\mathbb{Z}$

が取れるから,

$$D_1+D_2i=(a_1-b_1i)(a_2+b_2i)=(a_1'-b_1'i)^2(a_2'+b_2'i)^2$$

となり, $x,y\in\mathbb{Z}$

$$x^2-y^2=D_1, 2xy=D_2$$

を満たすものが存在する.

よって,

$$\begin{cases} -D_2^2+4x^4=4x^4-4x^2y^2=4D_1x^2,\\ D_2^2-y^4=4x^2y^2-y^4=4D_1y^2 \end{cases}$$

$$\therefore x^2=\frac{D_1\pm\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}, y^2=\frac{-D_1\pm\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}$$

ここで,

$$2x^2-D_1=x^2+y^2, 2y^2+D_1=x^2+y^2$$

であるから, 根号の前は正符号であり,

$$x^2=\frac{D_1+\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}, y^2=\frac{-D_1+\sqrt{D_1^2+D_2^2}}{2}$$

となる.

一方, $c_1^2c_2^2=(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)=D_1^2+D_2^2=(x^2-y^2)^2+(2xy)^2=(x^2+y^2)^2$

より, $c_1c_2=x^2+y^2$

であるから,

$$\frac{a_1a_2+b_1b_2-c_1c_2}{2}=\frac{D_1-(x^2+y^2)}{2}=\frac{(x^2-y^2)-(x^2+y^2)}{2}=-y^2$$

したがって,

\begin{align*} \left(\frac{a_1+a_2}{2}\right)^2+\left(\frac{b_1+b_2}{2}\right)^2+y^2 &=\frac{a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2+2a_1a_2+2b_1b_2}{4}+\frac{-a_1a_2-b_1b_2+c_1c_2}{2}\\ &=\frac{c_1^2+c_2^2+2c_1c_2}{4}\\ &=\left(\frac{c_1+c_2}{2}\right)^2 \end{align*}

数学の本

持っている本やおすすめの本について。大半は専門書というより読み物。ただし、ここにある本を完全に理解しているわけでもないので誤った説明もあるかもしれない。

数学ガール/フェルマーの最終定理

フェルマーの最終定理を扱っている物語で最初に読んだのは高校生の頃。最後の方でフェルマーの最終定理がどう示されたかを命題の間の論理関係に落とし込んで説明していて、感心させられた。論理関係に落とし込むとはどういうことかもう少し説明すると、「フェルマーの最終定理が成り立たないとこういう曲線ができるけど、そういう曲線は存在しないことが知られている。だから、フェルマーの最終定理が成り立つ」というようなことが書かれている。

数学ガール/ガロア理論

5次以上の方程式には解の公式が存在しない、ということは数学に興味ある人ならどこかで聞いたことがあるはず。これを示すためにはガロア理論というものが応用される。ガロア理論には群、体(たい)という高校では聞かない概念が使われていて、普通の高校生には敷居が高いように思える。その群というものを公理をただ持ち出して抽象的に説明するのではなくアミダクジという馴染みやすい例を用いて説明しているため、高校生にもおすすめできる。また、ガロア理論を数学書で学んだが、数学書によくある公理→定理→証明の連続のために分かったという気になれない人にも、具体的に見てみることで何かの助けになるかもしれない。

プロの数学 ―大学数学への入門コース

大学数学とはどんなものなのかを知りたい人に一読を勧めたい。

数学まなびはじめ〈第1集〉

数学の研究を将来の一候補にしている人や数学の道を続けようか迷っている人に勧めたい。数学者が若いとき(学生時代など)に経験したエピソードや何を考えていたかなどを少し知ることができる。

ガロアとガロア理論 (MATH+)

ガロアの伝記が第一部で、ガロア理論に続く現代数学の流れの概説が第二部になっている。ガロアについて知りたい人やガロア理論を超えた先に何があるのが知りたい人に勧めたい。

フェルマーの最終定理・佐藤‐テイト予想解決への道 (類体論と非可換類体論 1)

フェルマーは奇素数$p$について

\[p\textbf{が平方数の二つの和で表せる}\Leftrightarrow p\equiv1\bmod{4}\]

が成り立つことを発見した。この定理を含む理論に類体論というものがあり、その先に非可換類体論というものがある。これらのことはフェルマーの最終定理や佐藤テイト予想というものと深く関連している。その流れを概説する本であり、数論に興味ある人に勧めたい。

日本語から記号論理へ

東大出版の数学の基礎(集合・数・位相)の記号論理のところより断然分かりやすかった。それはこちらは啓蒙書の部類だから当然といえば当然なのだが。分かりやすい理由としてはタイトルにもあるように普段使う日本語の論理から入って適宜記号論理の言葉の類似を使って説明したあとに、数学の記号論理へと入っていく橋渡し的な構成がされているから、と思う。数学科入ってεδ悩んでいる人に一読を薦めたい。

抽象代数の歴史

群、環、体などの(抽象)代数学の初歩を学び終えた頃に代数学って何なのだろうと思い、図書室で借りて、興味を惹いたところだけ読んだ本。代数学を学んでいくうちに、その起源を知りたくなったら読んでみては如何?

多項式のある漸化式

漸化式

f_{n+2}(x)=xf_{n+1}(x)-f_n(x)

はなかなか面白いかもしれません。

f_1(x)=x,f_2(x)=x^2-2 とすると、

t^{n}+t^{-n}=f_n(t+t^{-1})

を満たす多項式 f_n(x) が得られ、また

f_1(x)=x,f_2(x)=x^2-1 とすると、

2\cos\frac{k\pi}{n+1}\;(k=1,\cdots,n)

を根に持つ多項式 f_n(x) が得られます。

前者は f_0(x)=2,f_1(x)=x

後者は f_0(x)=1,f_1(x)=x

を初項としたときに漸化式から得られる多項式とも考えられるので、f_0(x)を他の自然数(もしくは整数)に変えると他にも面白い多項式が生成できるかもしれません。

興味があれば試してみてはいかが?

ネットで見つけた予想の部分的な証明

皆の投稿 - 原始根の和と円分多項式 - 数学博物館 すうじあむ

にあった予想(@mizumiya_umiさんによる)を$p$にかなりの制限を付けて証明した。

$p$を素数とし, $p-1$ は$2q\;(q:$奇素数$)$ の形とする.

$\bmod{p}$ の原始根全体を

$$A=\{a_1, \cdots, a_{\varphi(p-1)}\}$$

とおく.すなわち,

$$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times=\{\bar{a_1}, \cdots, \overline{a_{\varphi(p-1)}}\}$$

また, $0\le b<p$ を

$$\sum_{i=1}^{\varphi(p-1)}a_i\equiv b\bmod{p}$$

を満たすように取る.

$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times$ は巡回群だから, $\bmod{p}$ の原始根$a$ を1つ選べば,

$$A=\{a^i\mid i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times\}$$

とも表せる.

このとき, 合同式

$$\sum_{i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times}a^i\equiv b\bmod{p}$$

を,

$$a^{\frac{p-1}{2}}\equiv-1\bmod{p}$$

によって簡単にすると,

$$\Phi_{p-1}(a)\equiv0\bmod{p}$$

となる(ことを示す)$\cdots(\ast).$

以降の多項式はすべて$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$

の元とする.

$$f(X)=\sum_{i\in(\mathbb{Z}/(p-1)\mathbb{Z})^\times}X^i-b,\; g(X)=\prod_{i=1}^{\varphi(p-1)}(X-a_i)\text{ とおく}.$$

すると, $(\ast)$は$f(X)$

を$(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$

イデアル$(X^{\frac{p-1}{2}}+1)$

による剰余環上で考えると, $\Phi_{p-1}(X)$

の0でない定数倍になることと言い換えられる.

$b$の定義から, $a_i$は$f(X)$の根になるから,$g(X)$

$f(X)$ を割り切る.

よって,

$$f(X)=g(X)h(X)$$

となる$h(X)$

が存在する.

$a_i$は

$$X^{p-1}-1=\prod_{d\mid(p-1)}\Phi_d(X)$$

の根であるから, $p-1$

のある約数$d$

に対して, $\Phi_d(X)$

の根.

したがって, $X^d-1$

の根となるが, $a_i$は$\bmod{p}$

の原始根だから, $d=p-1.$

つまり, $a_i$ はすべて$\Phi_{p-1}(X)$

の根なので, $g(X)$

は$\Phi_{p-1}(X)$

を割り切る.

しかし, 次数が等しいので, ある$C(\in(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^\times)$

が存在して,

$$g(X)=C\Phi_{p-1}(X).$$

さらに, $(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})[X]$

イデアル$(X^{\frac{p-1}{2}}+1)$

を法として考えれば,

$$\overline{f(X)}=\overline{C}\;\overline{\Phi_{p-1}(X)}\;\overline{h(X)}$$

このとき,

$$\deg\overline{f(X)}\le\deg(X^{\frac{p-1}{2}}+1)-1=\frac{p-3}{2}=\deg\Phi_{p-1}(X)=\deg\overline{\Phi_{p-1}(X)}$$

であるから, $\overline{h(X)}$

は0でない定数となり, $\overline{f(X)},\overline{\Phi_{p-1}(X)}$

は互いに定数倍.

したがって, $(\ast)$は示され, このことより, $\Phi_{p-1}(X)$

の項の数は$b\neq0$

のとき, $\phi(p-1)+1.$

$p=11$のとき, $A={2,6,7,8}={2,2^3,2^7,2^9}$であり, $b=1.$

\begin{align*} X+X^3+X^7+X^9-1&\equiv X+X^3-X^2-X^4-1\bmod{(X^5+1)}\\ \Phi_{10}(X)&=X^4-X^3+X^2-X+1. \end{align*}

根の対称式

2年前にtwitterで次のように呟いた

※数式の部分を一応見やすく再掲:

z^5-11z-5=0 の解 \alpha_1,\cdots,\alpha_5 に対し, \frac{1}{2-\alpha_1}+\frac{1}{2-\alpha_2}+\cdots+\frac{1}{2-\alpha_5}

これについて昨日考えたが、

その方法を以下で解説

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線形代数

線形代数のイントロダクションというか行列の導入に関して、思い付きで書いてみた

0_A_M_.pdf - Google ドライブ